习题 17, § 5

令$X$为紧空间，$\mu$为$X$的正测度。将 $X$ 的有限划分的集合 $\mathscr{P}$ 转化为可积集合，针对关系 «$\varpi$ 比 $\varpi'$ 更粗糙 »，据说是*基本的*，如果对于制服的每个随行人员 $V$ $X$的结构，存在$X$属于到$\mathscr{P}$的划分$\varpi = (A_i)$，使得所有$A_i$都小于阶$V$。对于每个有限划分 $\varpi = (A_k)$ 属于到 $\mathscr{P}$，以及 $X$、集合上的每个有界数值函数 $f$

（“黎曼和”相对于$f$和划分$\varpi$）。

a) 证明对于每个划分$\varpi \in \mathscr{P}$，$s_{\varpi}(f) \leq \mu_*(f) \leq \mu^*(f) \leq S_{\varpi}(f)$，并且$s_{\varpi}(f)$和$S_{\varpi}(f)$相对于有向有序的集合$\mathscr{P}$每个都倾向于极限。

b) 如果$\mathscr{P}$是$X$的*所有*有限划分到可积集合的（基本）集合，则表明对于每个有界且可积的函数$f$，$s_{\varpi}(f)$和$S_{\varpi}(f)$相对于$\mathscr{P}$，倾向于$\int f d\mu$。

c) 如果 $f$ 是一个有界函数，并且在 $X$ 中几乎处处连续，则 $s_{\varpi}(f)$ 和 $S_{\varpi}(f)$ 相对于有限划分的*每个*基本集合 $\mathscr{P}$ 趋向于 $\int f d\mu$ $X$ 转化为可积集合（对于每个$\varepsilon > 0$，考虑点的闭集合$A$，其中$f$的振荡为$\geq \varepsilon$，并且对于每个划分$\varpi \in \mathscr{P}$，其集合比阶$V$小，分别考虑$\varpi$中那些与$V(A)$相交和不相交的集合）。如果$f$在$X$上有界且下半连续，则表明$s_{\varpi}(f)$相对于$X$的有限划分的*每个*基本集合$\mathscr{P}$趋于$\int f d\mu$到可积集合（考虑$f$作为连续函数的上包络线）。

d) A set $A \subset X$ is said to be quadrable (for $\mu$) if its characteristic function is continuous almost everywhere, or, what amounts to the same, if its boundary is $\mu$-negligible. 证明$X$的每个点$x_0$都有一个四元开邻域系统（对于$x_0$的每个邻域$V$，让$f$是连续的函数，值在$[0,1]$中，等于1） 点 $x_0$ 并在 $\mathbf{C}V$ 上为 0；考虑 $x$ 的集合，使得 $f(x) > \alpha$，对于 $0 < \alpha < 1$）。 由此推论，存在$X$的有限划分的基本集合$\mathscr{P}$，使得每个划分$\varpi \in \mathscr{P}$都由开集合和可忽略的集合组成。

e) 设$\mathscr{P}$是$X$的有限划分到可积集合的基本集合，这样每个划分$\varpi \in \mathscr{P}$都由开集合和可忽略的集合组成。对于$X$上的每个有界函数$f$，令$g$为最大的在$X$上的下半连续函数，即$\leq f$（GT，IV, §6，命题4）；证明对于每个划分 $\varpi \in \mathscr{P}$，$s_{\varpi}(f) = s_{\varpi}(g)$。由此推论，要使$s_{\varpi}(f)$和$S_{\varpi}(f)$相对于$\mathscr{P}$趋于公共的极限，$f$必须在$X$中几乎处处连续。

$f$ Deduce from e) an example of a negligible function $f$ and a fundamental set $\mathscr{P}$ of finite partitions of $X$ into integrable sets, such that $s_{\varpi}(f)$ and $S_{\varpi}(f)$ do not tend to the same limit with respect to $\mathscr{P}$ (take for $X$ the interval $[0,1]$ of $\mathbf{R}$, and for $\mu$ the Lebesgue measure).