Bài tập 17, § 5

Cho $X$ là một không gian compact, $\mu$ là một độ đo dương trên $X$. Một tập hợp $\mathscr{P}$ các phân hoạch hữu hạn của $X$ thành các tập hợp khả tích, có hướng đối với quan hệ «$\varpi$ thô hơn $\varpi'$ », được gọi là cơ bản nếu, với mọi lân cận $V$ của cấu trúc đều của $X$, tồn tại một phân hoạch $\varpi = (A_i)$ của $X$ thuộc $\mathscr{P}$ sao cho mọi $A_i$ đều nhỏ cấp $V$. Với mọi phân hoạch hữu hạn $\varpi = (A_k)$ thuộc $\mathscr{P}$, và mọi hàm số bị chặn $f$ trên $X$, đặt

(các 'tổng Riemann' tương ứng với $f$ và phân hoạch $\varpi$).

(a) Chứng minh rằng $s_{\varpi}(f) \leq \mu_*(f) \leq \mu^*(f) \leq S_{\varpi}(f)$ với mọi phân hoạch $\varpi \in \mathscr{P}$, và rằng $s_{\varpi}(f)$ và $S_{\varpi}(f)$ mỗi cái đều tiến tới một giới hạn đối với tập hợp có thứ tự có hướng $\mathscr{P}$.

(b) Nếu $\mathscr{P}$ là tập hợp (cơ bản) của tất cả các phân hoạch hữu hạn của $X$ thành các tập hợp khả tích, chứng minh rằng với mọi hàm $f$ bị chặn và khả tích, $s_{\varpi}(f)$ và $S_{\varpi}(f)$ tiến tới $\int f d\mu$ đối với $\mathscr{P}$.

(c) Nếu $f$ là một hàm bị chặn liên tục hầu khắp nơi trong $X$, thì $s_{\varpi}(f)$ và $S_{\varpi}(f)$ tiến tới $\int f d\mu$ đối với mọi tập hợp cơ bản $\mathscr{P}$ các phân hoạch hữu hạn của $X$ thành các tập hợp khả tích (với mọi $\varepsilon > 0$, xét tập hợp đóng $A$ gồm các điểm mà tại đó dao động của $f$ là $\geq \varepsilon$, và với mọi phân hoạch $\varpi \in \mathscr{P}$ có các tập hợp nhỏ cấp $V$, xét riêng các tập hợp của $\varpi$ giao với $V(A)$ và các tập hợp không giao với nó). Nếu $f$ bị chặn và nửa liên tục dưới trên $X$, chứng minh rằng $s_{\varpi}(f)$ tiến tới $\int f d\mu$ đối với mọi tập hợp cơ bản $\mathscr{P}$ các phân hoạch hữu hạn của $X$ thành các tập hợp khả tích (coi $f$ như bao trên của các hàm liên tục).

d) Một tập hợp $A \subset X$ được gọi là quadrable (đối với $\mu$) nếu hàm đặc số của nó liên tục hầu khắp nơi, hoặc, điều này tương đương với việc biên của nó là $\mu$-không đáng kể. Hãy chứng minh rằng mọi điểm $x_0$ của $X$ đều có một hệ cơ bản các lân cận mở quadrable (đối với mọi lân cận $V$ của $x_0$, lấy một hàm liên tục có giá trị trong $[0,1]$, bằng 1 tại điểm $x_0$ và bằng 0 trên $\mathbf{C}V$; xét các tập hợp các $x$ sao cho $f(x) > \alpha$, với $0 < \alpha < 1$). Từ đó, suy ra rằng tồn tại một tập cơ bản $\mathscr{P}$ các phân hoạch hữu hạn của $X$, sao cho mọi phân hoạch $\varpi \in \mathscr{P}$ đều gồm các tập hợp mở và các tập hợp không đáng kể.

e) Cho $\mathscr{P}$ là một tập cơ bản các phân hoạch hữu hạn của $X$ thành các tập hợp khả tích, sao cho mọi phân hoạch $\varpi \in \mathscr{P}$ đều gồm các tập hợp mở và các tập hợp không đáng kể. Đối với mọi hàm bị chặn $f$ trên $X$, gọi $g$ là hàm nửa liên tục dưới lớn nhất trên $X$ thỏa mãn $\leq f$ (GT, IV, §6, Mệnh đề 4); hãy chứng minh rằng đối với mọi phân hoạch $\varpi \in \mathscr{P}$, $s_{\varpi}(f) = s_{\varpi}(g)$. Từ đó, suy ra rằng để $s_{\varpi}(f)$ và $S_{\varpi}(f)$ tiến tới một giới hạn chung đối với $\mathscr{P}$, điều cần thiết là $f$ phải liên tục hầu khắp nơi trong $X$.

$f$ Hãy suy ra từ e) một ví dụ về một hàm không đáng kể $f$ và một tập cơ bản $\mathscr{P}$ các phân hoạch hữu hạn của $X$ thành các tập hợp khả tích, sao cho $s_{\varpi}(f)$ và $S_{\varpi}(f)$ không tiến tới cùng một giới hạn đối với $\mathscr{P}$ (lấy $X$ là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$, và $\mu$ là độ đo Lebesgue).