Exercice 17, § 5

Soient X un espace compact, $\mu$ une mesure positive sur X. On dit qu’un ensemble $\mathscr{P}$ de partitions finies de X en ensembles intégrables, filtrant pour la relation « $\varpi$ est moins fine que $\varpi'$ » est fondamental si, pour tout entourage V de la structure uniforme de X, il existe une partition $\varpi = (A_i)$ de X appartenant à $\mathscr{P}$ et telle que tous les $A_i$ soient petits d’ordre V. Pour toute partition finie $\varpi = (A_k)$ appartenant à $\mathscr{P}$, et toute fonction numérique $f$ bornée dans X, on pose $s_{\varpi}(f) = \sum_k \inf_{x \in A_k} f(x) \cdot \mu(A_k)$, et $S_{\varpi}(f) = \sum_k \sup_{x \in A_k} f(x) \cdot \mu(A_k)$ (« sommes de Riemann » relatives à $f$ et à la partition $\varpi$).

a) Montrer qu’on a $s_{\varpi}(f) \leq \mu_*(f) \leq \mu^*(f) \leq S_{\varpi}(f)$ pour toute partition $\mathscr{P}$, et que $s_{\varpi}(f)$ et $S_{\varpi}(f)$ tendent chacune vers une limite suivant l’ensemble ordonné filtrant $\mathscr{P}$.

b) Si $\mathscr{P}$ est l’ensemble (fondamental) de toutes les partitions finies de X formées d’ensembles intégrables, montrer que pour toute fonction $f$ bornée et intégrable, $s_{\varpi}(f)$ et $S_{\varpi}(f)$ tendent vers $\int f d\mu$ suivant $\mathscr{P}$.

c) Si $f$ est une fonction bornée et continue presque partout dans X, $s_{\varpi}(f)$ et $S_{\varpi}(f)$ tendent vers $\int f d\mu$ suivant tout ensemble fondamental $\mathscr{P}$ de partitions finies de X en ensembles intégrables (pour tout $\varepsilon > 0$, considérer l’ensemble fermé A des points où l’oscillation de $f$ est $\geq \varepsilon$, et pour toute partition $\varpi \in \mathscr{P}$ dont les ensembles sont petits d’ordre V, considérer séparément ceux des ensembles de $\varpi$ qui rencontrent V(A) et ceux qui ne le rencontrent pas). Si $f$ est bornée et semi-continue inférieurement dans X, montrer que $s_{\varpi}(f)$ tend vers $\int f d\mu$ suivant tout ensemble fondamental $\mathscr{P}$ de partitions finies de X en ensembles intégrables (considérer $f$ comme enveloppe supérieure de fonctions continues).

d) On dit qu’un ensemble $A \subset X$ est quarvable (pour $\mu$) si sa fonction caractéristique est continue presque partout, ou, ce qui revient au même, si sa frontière est $\mu$-négligeable. Montrer que tout point $x_0$ de X possède un système fondamental de voisinages ouverts quarables (pour tout voisinage V de $x_0$, soit $f$ une fonction continue à valeurs dans $(0,1)$ égale à 1 au point $x_0$, à 0 dans $\mathbf{C}V$; considérer les ensembles des x tels que $f(x) > \alpha$, pour $0 < \alpha < 1$). En déduire qu’il existe un ensemble fondamental $\mathscr{P}$ de partitions finies de X, tel que toute partition $\varpi \in \mathscr{P}$ soit formée d’ensembles ouverts et d’ensembles négligeables.

e) Soit $\mathscr{P}$ un ensemble fondamental de partitions finies de X en ensembles intégrables, tel que toute partition $\varpi \in \mathscr{P}$ soit formée d’ensembles ouverts et d’ensembles négligeables. Pour toute fonction bornée $f$ dans X, soit $g$ la plus grande des fonctions semi-continues inférieurement dans X et $\leq f$ (Top. gén., chap. IV, § 6, prop. 4); montrer que, pour toute partition $\varpi \in \mathscr{P}$, on a $s_{\varpi}(f) = s_{\varpi}(g)$. En déduire que, pour que $s_{\varpi}(f)$ et $S_{\varpi}(f)$ tendent vers une même limite suivant $\mathscr{P}$, il faut que $f$ soit continue presque partout dans $X$.

f) Déduire de e) un exemple de fonction $f$ négligeable et d’un ensemble fondamental $\mathscr{P}$ de partitions finies de $X$ en ensembles intégrables tels que $s_{\varpi}(f)$ et $S_{\varpi}(f)$ ne tendent pas vers la même limite suivant $\mathscr{P}$ (prendre pour $X$ l’intervalle $\{0, 1\}$ de $\mathbf{R}$ et pour $\mu$ la mesure de Lebesgue).