习题 15, § 6

令X为紧空间，$\mu$为X的正测度。 对于 $\mathscr{L}_C^2$ 中的两个函数 $f, g$，一个集合 $(f|g) = (\widetilde{f}|\widetilde{g}) = \int f \overline{g} d\mu$。 如果序列 $\widetilde{f}_n$ 在希尔伯特空间 $L_C^2$ 中是正交的，即 (TVS，V, §2)，如果 $(f_m|f_n) = \delta_{mn}$（克罗内克符号）对于每个对，则函数 $f_n \in \mathscr{L}_C^2$ 的序列被称为正交指标。 对于每个函数 $g \in \mathscr{L}_C^2$，复数 $c_n = (g|f_n)$ 被称为 $g$ 相对于正交序列 $(f_n)$ 的分量；一个有 $\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 \leq \int |g|^2 d\mu$。

对于点 $x, y$ X 的每一个对以及每一个整数 $n \geq 0$，一个集合 $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n f_k(x) \overline{f_k(y)}$（正交序列 $(f_n)$ 的第 n 个核）；对于每个函数 $g \in \mathscr{L}_C^2$，

集合$H_n(x) = \int |K_n(x, y)|\,d\mu(y)$（称为正交序列$(f_n)$的第n个勒贝格函数）。

a) 令$(\alpha_n)$为数$> 0$的递减序列，使得级数与一般项$\alpha_n$收敛。证明，对于几乎每一个$x \in X$，$\sum_{k=0}^n |f_k(x)|^2 = o(1/\alpha_n)$（使用§3的命题6，证明级数与一般的项$\alpha_n|f_n(x)|^2$几乎处处收敛，并利用GT的Exer.10，IV, §7）。由此推断几乎每个$x \in X$都有$H_n(x) = o(1/\sqrt{\alpha_n})$。

b) 设$x_0$为X的点。在阶中，对于每个在 X 上定义且连续的复数值函数 $g$，部分和 $s_n(g)$ 的边界为点 $x_0$（通过数取决于 $g$ 和$x_0$），数$H_n(x_0)$的集合有界是必要且充分的（利用命题3以及在Banach空间的对偶中，每个弱有界集合都是强有界的事实）。

c) 在阶中，对于每个复值函数$g$，在X、级数上定义且连续，与一般项$(g|f_n)f_n(x)$一致收敛于X且有和$g(x)$，则充分必要： X 上的每个连续复值函数可以一致逼近 $f_k$ 的线性组合； 2° 存在一个常数 $a$，使得 $|H_n(x)| \leq a$ 对于所有 $n$ 和 $x \in X$。 （注对于每一个$n$，$f_n(x) = \sum_{m=0}^\infty (f_n|f_m)f_m(x)$都是相同的；另一方面，为了证明条件$2^\circ$，注的必要性，对于整数的每一个递增序列$(n_k)$和每一个$X$点序列$(x_k)$，数$\int K_{n_k}(x_k, y)g(y)\, d\mu(y)$序列有界（由数取决于$g$）并争论如$b$。）