习题 13, § 5

*设 G 为局部紧致阿贝尔的群。其中 $\widehat{G}$ 表示 G 的对偶群，$\alpha$ 表示$\widehat{G}$ 上的哈尔测度。对于 G 上的每个有界测度 $\mu$，一个由 $\mu$ 的 $\mathscr{F} \mu$ 傅里叶变换表示，即群 $\widehat{G}$ 上的函数（cf. Théor.spec.，Ch.II, §1, No. 2）。

a) 傅立叶变换$\mathscr{F}$是配备紧拓扑的$\mathscr{M}_+^b(G)$的连续映射到配备紧致收敛的拓扑的$\mathscr{C}^b(\widehat{G})$。 （利用No. 6第13号提案的Cor.）

b) 令$\mathscr{F}$为$\mathscr{M}_+^b(G)$上的过滤器，$\Phi$为$\widehat{G}$上的有界连续函数；假设$\lim_{\lambda, \mathscr{F}} (\mathscr{F} \lambda) \cdot \alpha = \Phi \cdot \alpha$（模糊收敛）和$\lim_{\lambda, \mathscr{F}} (\mathscr{F} \lambda)(0) = \Phi(0)$。证明滤波器 $\mathscr{F}$ 紧密收敛到测度 $\mu$，使得 $\mathscr{F} \mu = \Phi$ （通过应用 Stone–Weierstrass 定理证明，具有紧支撑的 $G$ 上连续函数的傅里叶变换的集合是稠密线性子空间 $C^0(\widehat{G})$ 均匀收敛；接下来观察$\lim_{\lambda, \mathscr{F}} \int (\mathscr{F} \lambda) \cdot u d\alpha = \int \Phi u d\alpha$ 对于每个 $u \in E$ 以及过滤器 $\mathscr{F}$ 包含模糊的紧集有界度量；由此推断过滤器 $\mathscr{F}$ 至多有一个簇点，然后它紧密收敛）。

c) 让 $\mathscr{F}$ 成为 $\mathscr{M}_+^b(G)$ 具有可数基 的过滤器。在$\mathscr{F}$紧密收敛到有界正测度$\mu$的阶中，$\widehat{G}$上存在连续函数$\Phi$使得$\mathscr{F} \lambda$相对于$\mathscr{F}$逐点收敛到$\Phi$是必要且充分的，在这种情况下$\mathscr{F} \mu = \Phi$（*P。Lévy 的定理*）。