习题 7, § 5

令 H 为拓扑空间 T 上有界正测度的集合。假设 $\sup_{\mu \in H} \mu^\bullet(T)$ 是有限的，并且对于每个 $\varepsilon > 0$，存在 T 的紧凑子集 K，使得 $\sup_{\mu \in H} \mu^\bullet(T - K) < \varepsilon$。证明前面的习题的条件(V)已经被验证。令$\mathscr{U}$为H上的超滤器。测量$\pi$的定义如前面的习题。

a) 对于 T 上的每个上半连续有界正函数 g，证明$\pi^\bullet(g) \geq \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^\bullet(g)$。 由此推导出，对于 T 上的每个有界函数 f，其不连续性的点的集合 $\pi$ 可忽略不计，$\pi^\bullet(f) = \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^\bullet(f)$。

b) 当 T 完全正则时，从 a) 推断出 H 对于紧拓扑是相对紧的（对于正测度的情况，这为 No. 5 的 Th.1 提供了新的证明）。