Exercice 7, § 5

Soit $H$ un ensemble de mesures positives et bornées sur un espace topologique $T$. On suppose que $\sup_{\mu \in H} \mu^*(T)$ est fini, et que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte $K$ de $T$ telle que $\sup_{\mu \in H} \mu^*(T - K) < \varepsilon$. Montrer que la condition (V) de l’exercice précédent est vérifiée. Soit $\mathscr{U}$ un ultrafiltre sur $H$. La mesure $\pi$ est définie comme dans l’exercice précédent. a) Montrer que l’on a $\pi^*(g) \geq \lim_{\mathscr{U}, \mu} \mu^*(g)$ pour toute fonction semi-continue supérieurement positive et bornée dans $T$. En déduire qu’on a $\pi^*(f) = \lim_{\mathscr{U}, \mu} \mu^*(f)$ pour toute fonction $f$ bornée dans $T$, dont l’ensemble des points de discontinuité est $\pi$-négligeable. b) Lorsque $T$ est complètement régulier, déduire de a) que $H$ est relativement compact pour la topologie étroite (ce qui fournit une nouvelle démonstration du th. 1 du n° 5 dans le cas des mesures positives).