Bài tập 7, § 5

Cho H là một tập hợp các độ đo dương bị chặn trên một không gian tôpô T. Giả sử rằng $\sup_{\mu \in H} \mu^\bullet(T)$ là hữu hạn, và rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact K của T sao cho $\sup_{\mu \in H} \mu^\bullet(T - K) < \varepsilon$. Chứng minh rằng điều kiện (V) của bài tập trước được thỏa mãn. Gọi $\mathscr{U}$ là một siêu lọc trên H. Độ đo $\pi$ được xác định như trong bài tập trước.

a) Chứng minh rằng $\pi^\bullet(g) \geq \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^\bullet(g)$ với mọi hàm dương bị chặn nửa liên tục trên trên T. Suy ra từ đó rằng $\pi^\bullet(f) = \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^\bullet(f)$ với mọi hàm bị chặn f trên T mà tập hợp các điểm gián đoạn của nó là $\pi$-không đáng kể.

b) Khi T là chính quy hoàn toàn, suy ra từ a) rằng H là tương đối compact đối với tôpô chặt (điều này cung cấp một chứng minh mới của Định lý 1 của No. 5 cho trường hợp các độ đo dương).