对于截面的其余部分，我们用$\Gamma$集合表示$\neq 0$对引理1的G满足条件的积极措施，并且对于每个$\alpha \in \Gamma$，我们用$H_\alpha$表示封闭的子群 G 的值就是 $\alpha$ 的支持度。

替换如果需要$\Phi$通过更细过滤，我们可以假设$s$相对于$\Phi$是$\xi \mapsto t_\xi$的极限；每$\xi \in E$乘以引理 1，$\delta(t_\xi)\alpha(\xi) = \alpha(\xi)$，结论来自映射$(u, \lambda) \mapsto \delta(u)\lambda$对$G \times \mathscr{M}_+(G)$的连续性（§ 3, No. 3，命题13）。

为了证明命题 1，通过引理 1 就足以表明，如果 $\Gamma$ 上的过滤器 $\Psi$ 模糊地收敛到测度 $\alpha_0 \neq 0$，并且如果 $s$ 属于支持$\alpha_0$，则$\delta(s)\alpha_0 = \alpha_0$。现在，对于$G$中$s$的每个邻域$V$，都存在一个$M \in \Psi$，这样，对于每个$\alpha \in M$，一个人有$V \cap H_\alpha \neq \varnothing$，通过引理2。对于$s$的每个邻域$V$和每个$\alpha \in \Gamma$，如果$V \cap H_\alpha \neq \varnothing$，则令$t_{V,\alpha}$为$V \cap H_\alpha$的点，反之则为$H_\alpha$的任意点；如果$\Theta$是$s$邻域过滤器的截面过滤器，并且$\Phi$是乘积过滤器$\Theta \times \Psi$，则根据前述，$s$是关于$(V, \alpha) \mapsto t_{V,\alpha}$的集群点 $\Phi$。另一方面，由于映射$(V, \alpha) \mapsto \alpha$的$\alpha_0$与$\Phi$的极限相同，因此从引理3可以得出命题。

集合$\Gamma_\varphi$是由$\alpha$形成的$\Gamma$的交和$\mathscr{M}(G)$的超平面，使得$\int \varphi(x)\,d\alpha(x) = 1$；由于这个超平面在$\mathscr{M}(G)$中模糊闭，并且包含不为0，因此从命题1可以得出$\Gamma_\varphi$在$\mathscr{M}(G)$中模糊闭。因此，只要证明对于$G$的每一个紧凑子集$K$，就有$\sup_{\alpha \in \Gamma_\varphi} \alpha(K) < +\infty$（第III, §1, No. 9章，第15条命题）。现在，令$U$为不等式$\varphi(x) > \varphi(e)/2$定义的$G$中$e$的开邻域；从 $1 = \int \varphi(x)\,d\alpha(x) \geq \int_U \varphi(x)\,d\alpha(x)$ 对应 $\alpha \in \Gamma_\varphi$ 开始，可以看到，在设定 $c = 2/\varphi(e)$，每 $\alpha \in \Gamma_\varphi$ 就有 $\alpha(U) \leq c$。设$V$是$e$在$G$中的对称开邻域，使得$V^2 \subset U$；让我们证明对于每个$x \in G$和每个$\alpha \in \Gamma_\varphi$都有$\alpha(Vx) \leq c$。事实上，如果$Vx$不与$\alpha$的支撑$H_\alpha$相交，那么这个关系是微不足道的；相反，如果存在 $h \in Vx \cap H_\alpha$，则对于某些 $v \in V$、从而存在 $h = vx$

从$\delta(h)\alpha = \alpha$开始，得出$\alpha(Vx) \leq \alpha(Uh) = \alpha(U) \leq c$。现在令$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$为$K$的点的序列，使得$Vx_i$形式覆盖$K$；由前述可知，每$\alpha \in \Gamma_\varphi$对应$\alpha(K) \leq \sum_{i=1}^n \alpha(Vx_i) \leq nc$； Q.E.D.

由于映射 $\alpha \mapsto \langle \varphi, \alpha \rangle$ 是模糊连续的，因此只要观察到 $\langle \varphi, \alpha \rangle \neq 0$ 对于每个测度 $\alpha \in \Gamma$，从 $e$ 属于到 $\alpha$ 和 $\varphi(e) > 0$ 的支撑$H_\alpha$ 即可。

对于每个 $\alpha \in \Gamma^0$ 和每个函数 $f \in \mathscr{K}(G)$、集合

其中卷积乘积是相对于正确的 Haar 测量 $\mu$ 进行的，并且利用了 $\dot{\alpha} = \alpha$ (§ 4, No. 4, 公式 (11)) 这一事实。我们知道（第VII, §2, No. 1，命题2）$\mathscr{K}_+(G)$到$\mathscr{K}_+(Q_\alpha)$的映射$f \mapsto f_\alpha$是*满射*；因而，通过(2)，

其中一个人有集合

为了建立命题，只要证明给定$f \in \mathscr{H}_+(G)$，映射$\alpha \mapsto \|f_\alpha\|$是模糊连续的。现在，设 K 为 $f$ 的支持度； 函数$f * \alpha$的支持包含在$KH_\alpha$中，并且在$H_\alpha$下的右侧不变；因而

因而，结论是，配备模糊拓扑的$\mathscr{M}_+(G)$的映射$\alpha \mapsto f * \alpha$，到配备紧致收敛的拓扑的$\mathscr{C}(G)$，是连续的（§ 4, No. 2，注1）。

回想一下，如果对于测度 $\alpha \in \Gamma^0$，$\|\mu_\alpha\|$ 是有限的，则 G 必然是幺模的（Ch. VII, §2, No. 6，Th. 3 的 Cor. 3）。

对于每一个测量$\alpha \in \Gamma^0(G)$，请回忆（第VII, §2, No. 3，第 5 条命题）函数

定义为 $\mu_\alpha$ - $Q_\alpha$ 上几乎所有位置，$\mu_\alpha$ - 可积，并且

根据命题4，只需证明，在$\Gamma^0(g)$中，$\alpha \mapsto \|\mu_\alpha\|$是*上*半连续的。固定测度$\alpha \in \Gamma^0(g)$，令K为G的紧子集。$Q_\alpha$上存在紧支撑的连续函数，取其在$[0, 1]$中的值，在紧集$\pi_\alpha(K)$上等于1；由于 $\mathscr{H}_+(G)$ 到 $\mathscr{H}_+(Q_\alpha)$ 的映射 $f \mapsto f_\alpha$ 是满射（第 VII, §2, No. 1，命题 2），因此可以看出存在函数 $f \in \mathscr{H}_+(G)$，使得

由于$\beta \mapsto f * \beta$是$\mathscr{M}_+(G)$的连续映射，配备了模糊的拓扑，进入$\mathscr{C}(G)$配备了紧致收敛的拓扑（§ 4, No. 2，注1），可以看到对于每一个$\varepsilon > 0$， 集合 $U_\varepsilon$ / $\beta \in \Gamma^0(G)$ 使得

是$\Gamma^0(g)$中$\alpha$的开放邻域；对于每一个 $\beta \in U_\varepsilon$，我们凭借公式 (2)， 给定数$\varepsilon > 0$，让我们选择函数$h \in \mathscr{K}_+(G)$这样$\int_G |g(x) - h(x)|\, d\mu(x) \leq \varepsilon$，并让我们在前面的$K = \mathrm{Supp}(h)$中取。对于每个 $\beta \in \Gamma^0(g)$，假设 $g_\beta(\dot{x}) \geq 1$ $Q_\beta$ 中几乎所有地方（对于 $\mu_\beta$），因此 凭借（4）；由于$h$在$K$之外是零，并且$a fortiori$在$KH_\beta$之外，因此 将此结果与 (5) 结合起来，可以看出 当$\beta \in U_\varepsilon$时，完成证明。

例如，令$g \in \mathscr{K}_+(G)$为函数，使得$g(x) \geq 1/c$对应$x \in KV$。每$x \in K$，

对于叙述的 $\alpha$ 满足条件；此外，由于$\pi_\alpha(K) = Q_\alpha$，有$\alpha \in \Gamma^0(g)$、从而的推论。

对于 $a \in A$ 和 $\alpha \in N_A$，

并且从 $\pi_\alpha(A) = Q_\alpha$ 开始，就有 $N_A \subset \Gamma^0(\varphi_A)$，因此由命题 5 得出推论。

(i) G 的单模闭子群的集合$\Sigma^0$在$\Sigma$中闭（因此是紧的）。

(ii) 如果 G 由 e 的紧邻域生成，则 G 的单模闭子群 H 的集合 $\Sigma_c^0$ 使得商空间 $G/H$ 是紧的，在 $\Sigma^0$ 中开（因此是局部紧的）。

(iii) 对于 G 中 e 的每个相对紧开邻域 U，G 的离散子群 H 的集合 $D_U$，使得 $H \cap U = \{e\}$ 在 $\Sigma^0$ 中闭合（因此是紧致的）。

由No. 1的命题3可知，$\Sigma$同胚于$\Gamma_\varphi$，因此由No. 1的命题2紧致。此外，在No. 2的开头注意到，$\alpha \in \Gamma$的测度集合$\Gamma^0$使得$H_\alpha$是幺模，在$\Gamma$中是封闭的；由于$\Gamma^0$在与$> 0$的同位比下是稳定的，$\Sigma$中$\Gamma^0$的像$\Sigma^0$是$\Sigma$的闭子集，从而证明(i)。

性质 (ii) 将是以下命题中的推论：

根据No. 2的第5条命题记号，对于$g \in \mathscr{K}_+(G)$，我们有，

因为，如果K是$g$的支持，关系$\int g(xs)\, d\alpha(s) \geq 1$对于所有$x \in G$意味着$KH_\alpha = G$，积分显然是$KH_\alpha$的补集零，因此$G/H_\alpha = \pi_\alpha(K)$是紧的。给定测度$\alpha \in \Gamma_c^0$，因此足以满足定义函数$g \in \mathscr{K}_+(G)$，使得$\Gamma^0(g)$是$\Gamma^0$中$\alpha$的邻域。由于 $G/H_\alpha$ 是紧致的，并且 $\mathscr{K}_+(G)$ 到 $\mathscr{K}_+(G/H_\alpha)$ 的典范映射 $f \mapsto f_\alpha$ 是满射（第 VII, §2, No. 2 章），因此存在函数 $g \in \mathscr{K}_+(G)$，使得 $\int g(xs)\, d\alpha(s) = 2$ 对于*每个* $x \in G$。令 K 为$g$、L e 在 G 中的对称紧邻域，生成 G； $\mathscr{M}_+(G)$的映射$\beta \mapsto g * \beta$进入$\mathscr{C}(G)$是模糊连续的（§ 4, No. 2，*注*1），$\Gamma^0$中存在$\alpha$的邻域W，使得

对于所有 $\beta \in W$ 和 $x \in LK$。 (7) 的第一个成员等于 $KH_\beta$ 之外的零，关系 $\beta \in W$ 意味着

由此可以推断，通过$n$上的归纳，每整数$n > 0$对应$L^n K \subset KH_\beta$；由于 L 生成 G，因此对于每个度量$\beta \in W$，我们都有 $G = KH_\beta$，这证明了 $W \subset \Gamma_c^0$。另一方面，(7)的第一个成员在$H_\beta$右端不变，不等式(7)对于$x \in LKH_\beta = G$也有效；因此$W \subset \Gamma^0(g)$，证明命题。

最后，(iii) 将是以下命题中的推论：

由于在 Th 的规范连续映射 $\Gamma \to \Sigma$、断言 (iii) 下，$D_U$ 是 $N_U$ 的像。 1 将立即由提案 7 a) 得出。

为了证明第 7 条，我们观察到 $N_U$ 可以定义为由 $\alpha$ 形成的 $\Gamma^0$ 的子集，这样，

现在，如果 $G$ 中的 $A$ 是紧致的（或开放且相对紧致的），则 $\mathscr{M}_+(G)$ 到 $\mathbf{R}$ 的映射 $\alpha \mapsto \alpha(A)$ 对于模糊拓扑是上（或下）半连续（第 IV, §4, No. 4 章，第 5 条的 Cor. 3 和前述，§1, No. 1，提案 4）；因此我们看到$N_U$是$\Gamma^0$的闭子集。此外，令$\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$为函数，使得$\varphi(e) = 1$和$\varphi(x) = 0$在$G - U$上；很明显，$\int \varphi(x) d\alpha(x) = 1$对于所有$\alpha \in N_U$；因此No. 1的命题2表明$N_U$是紧集，这就证明了a)。另一方面，让$V$是$G$中$e$的相对紧凑的开放邻域，使得$\overline{V} \subset U$，并让$\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$，支持包含在$U$中，使得$\varphi(x) = 1$在$V$上。那么$\alpha(\varphi) = 1$对应$\alpha \in N_U$，因此在$N$中存在$\alpha$的邻域$W$，使得$\beta(\varphi) < 2$对应$\beta \in W$；显然$W \subset N_V$，因此$N_V$是$N_U$的邻域。由于$N_U$覆盖了$N$，这就证明了b)。最后，$N$的每个紧凑子集$M$都包含在集合$N_{U_i}$（$1 \leq i \leq n$）的有限并中，并且从$\bigcup_i N_{U_i} \subset N_U$开始，其中$U = \bigcap_i U_i$，这证明了c）。

我们有 $D_c = D \cap \Sigma_c^0$，因此 (iii) 是 (i) 的推论，并且 Th。 1 (ii) No. 3。

对于No. 3的记号，第7条命题，对于证明 (i) 和 (ii) 来说，足以证明：

现在，如果$\Gamma_d$是$G$的离散子群上的Haar测度的集合，则$D$与$\Gamma_d$中同调的群轨道空间与比率标准同胚$> 0$（GT，I, §5, No. 2，提案 4）。因此，只要证明$\Gamma_d$到$\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{N}$的典范映射$\alpha \mapsto (\alpha(\{e\}), \alpha/\alpha(\{e\}))$是*同胚*，这将由以下引理得出：

让我们考虑一个度量$\alpha \in \Gamma_d$；令$V_0$是$G$中$e$的相对紧邻开邻域，使得$H_\alpha \cap V_0 = \{e\}$并且不存在$V_0$中包含的$G$的有限子群并且不减少到$e$。令 $V$ 为 $e$ 的对称紧邻域，使得 $V^3 \subset V_0$，令 $U$ 为 $e$ 的对称邻域，使得 $U^2 \subset V$。设$\varphi$（分别为$\psi$）在$\mathscr{H}_+(G)$中为函数，$[0, 1]$中的值等于$V^3$（分别在点$e$）上的1，并且支持包含在$V_0$（分别在$U$）。 集合测量$\beta \in \Gamma_d$，使得$|\beta(\varphi) - \alpha(\varphi)| \leq \varepsilon$和$|\beta(\psi) - \alpha(\psi)| \leq \varepsilon$是$\alpha$的邻域$W$。我们建议证明，只要 $\varepsilon$ 足够小，$H_\beta \cap V = \{e\}$ 对于每个 $\beta \in W$；然后它会遵循$\beta(\psi) = \beta(\{e\})$，因此$|\beta(\{e\}) - \alpha(\{e\})| \leq \varepsilon$，这将证明引理。

足以证明，对于 $\beta \in W$，

对于，假设这个点成立：那么，对于$V \cap H_\beta$中的$x$和$y$，有$xy^{-1} \in V^2 \cap H_\beta$；但是，根据 (8)，这意味着 $xy^{-1} \in V \cap H_\beta$；在其他字中，$V \cap H_\beta$是$G$的*子群*，显然是离散且紧致的，因此是有限的；但是，通过$V_0$的选择，这意味着确实是$V \cap H_\beta = \{e\}$。

让我们用反证法来论证，假设存在$V^2 - V$中的点$z$即属于到$H_\beta$；通过$U$和$V$的选择，我们在$G$中有$\psi(sz^{-1}) + \psi(s) \leq \varphi(s)$，关系$z \notin U^2$意味着$Uz \cap U = \varnothing$。自从

由此可见 $2\beta(\psi) \leq \beta(\varphi) \leq \alpha(\varphi) + \varepsilon$；但我们也有

以及构造$\alpha(\varphi) = \alpha(\psi) = \alpha(\{e\})$。因此，我们通过取 $\varepsilon < \alpha(\{e\})/3$ 来得出矛盾。 Q.E.D.

在图形项中，群$G$满足条件（L）据说*不具有任意小的有限子群。*可以证明每个李群满足条件 (L);但这个条件不是李群的特性；对于例，$p$-adic 整数的乘法群全等于 1 mod $p$ 满足 (L)。*

(i) 在$G$中存在$e$的开放邻域$U$，使得$H_\alpha \cap U = \{e\}$对于所有$\alpha \in A$。

(ii) 存在一个常数 $k$，使得 $\mu_\alpha(G/H_\alpha) \leq k$ 对于所有 $\alpha \in A$。

如果$A \subset N_c$在$N_c$中相对紧凑，那么在$N$中它是*更不必说*，因此条件（i）和（ii）的必要性从No. 3得出，道具。 6 和 7（不假设 $G$ 为阿贝尔的）。相反，假设$A \subset N_c$满足这些条件；如果 $\overline{A}$ 是 $A$ in $N$ 的闭包，那么 $\overline{A}$ 根据第 7 条命题 No. 3 是紧的；此外，由于对于模糊的拓扑（No. 2，命题4），$\alpha \mapsto \| \mu_\alpha \|$在$\Gamma^0$上是下半连续的，条件(ii)意味着对于所有$\alpha \in \overline{A}$也有$\| \mu_\alpha \| \leq k$。现在，由于$G$是阿贝尔的，$\mu_\alpha = \mu/\alpha$是群$G/H_\alpha$的哈尔测度，因此$G/H_\alpha$对于每个$\alpha \in \overline{A}$都是紧凑的（第VII, §1, No. 2，第2条）。这意味着$\overline{A} \subset N_c$，因此$A$在$N_c$中相对紧凑。

令 $D_c$ 为 $G$ 的离散子群 $H$ 的集合，使得 $G/H$ 是紧致的，对于每个 $H \in D_c$，令 $v(H)$ 为总质量 $\mu_\alpha(G/H)$，其中 $\mu_\alpha$ 为$\mu$ 通过标准化 Haar 测量$\alpha$ $H$。为了使空间$D_c$中的子集$A$在$D_c$中相对紧凑，满足以下两个条件是充分必要的：

(i) $G$ 中存在$e$ 的开放邻域$U$，使得$H \cap U = \{e\}$ 对于所有$H \in A$。

(ii) 存在一个常数 $k$，使得 $v(H) \leq k$ 对于所有 $H \in A$。

考虑到第 9 条命题，这可以立即得出以下事实：在 $N$ 到 $D$ 的规范双射下，$D_c$ 是 $N_c$ 的像，并且根据所做出的假设，这个双射是同胚（No. 4，提案 8）。