习题 11, § 3

令$t \mapsto \lambda_t$为T的$\mu$充分映射进入$\mathscr{M}_+(X)$满足以下条件：对于T的每个紧凑子集K，存在X的紧凑子集$L_K$使得$\operatorname{Supp}(\lambda_t) \subset L_K$对于所有$t \in K$。

a) 证明对于 X 上定义的每个函数 $f \geq 0$，

（利用提案 3 a））。

b) 如果$f \geq 0$局部$\nu$可忽略，则$t \in T$的集合使得$f$局部$\lambda_t$可忽略不计，则局部$\mu$可忽略。

c) 如果$f$是X的$\nu$可测映射到拓扑空间X，则$t \in T$的集合使得$f$不可在本地进行$\lambda_t$可测$\mu$-可以忽略不计。

d) 对于每个 $\nu$-可测量函数 $f \geq 0$，映射 $t \mapsto \int^* f\, d\lambda_t$ 是 $\mu$-可测量，并且

e) 令 $\mathbf{f}$ 为 X 上定义的函数，其中值在 Banach 空间或$\overline{\mathbf{R}}$ 中，且本质上 $\nu$ 可积。证明$t \in T$的集合使得$\mathbf{f}$不是$\lambda_t$可积，在局部$\mu$可忽略不计，函数$t \mapsto \int \mathbf{f}(x)\, d\lambda_t(x)$（几乎所有地方为$\mu$局部定义）本质上是$\mu$可积，并且