引理 1 09HX

令X为局部紧空间，R为X中的开等价关系，使得商空间X/R为仿紧；令 π 为 X 的典范映射到 X/R。在 X 上存在连续实值函数 F ≥ 0，使得：

a) F 与 R 的任何等价类上的零不相同；

b) 对于X/R 的每个紧致子集 K，$\overline{\pi}(K)$ 的交与 Supp F 是紧致的。

对于每个点$u \in X/R$，让我们关联函数$f_u \in \mathscr{K}_+(X)$，使得$f_u$与$\overline{\pi}(u)$上的零不相同；设$\Omega_u$为点的开集合，其中$f_u > 0$；因而$u \in \pi(\Omega_u)$。由于$\pi$是开映射，因而$\pi(\Omega_u)$形式是X/R的开覆盖。存在局部有限开覆盖​​$(U_\iota)_{\iota \in I}$、更细，而不是$\pi(\Omega_u)$的覆盖，则X/R上的单位元$(g_\iota)_{\iota \in I}$的（GT，IX, §4, No. 3，命题3）划分从属于覆盖$(U_\iota)$。对于每个$\iota \in I$，选择一个$u_\iota$使得$U_\iota \subset \pi(\Omega_{u_\iota})$。 函数 $F_\iota = (g_\iota \circ \pi) \cdot f_{u_\iota}$ 属于到 $\mathscr{K}(X)$ 并在 $\overline{\pi}(U_\iota)$ 中包含支持。因而，$F_\iota$的支持是形式是一个局部有限族，因此可以通过设定$F = \sum_{\iota \in I} F_\iota$在X上定义连续函数$F \geq 0$。

对于每个$u \in X/R$，都存在一个$\iota$，使得$g_\iota(u) > 0$，因此存在$u \in U_\iota$；接下来，存在 $x \in \Omega_{u_\iota}$ 使得 $\pi(x) = u$；那么 $f_{u_\iota}(x) > 0$ 和 $g_\iota(\pi(x)) > 0$，因而 $F_\iota(x) > 0$ 和 更不必说 $F(x) > 0$；这证明 F 有性质 a)。最后，令 K 为 X/R 的紧凑子集。存在 I 的有限子集 J，使得对于 $\iota \in I - J$，有一个

与 TG 相同，IX, §4，n° 4，道具。 5（GT 中没有）。

引理 2 09HY

设 G 为无穷大可数的局部紧致群，M a Baire 空间。假设G在M中连续且传递地进行左运算。对于每个$x \in M$，令$H_x$为G中$x$的稳定子，使得G的映射$s \mapsto sx$到M定义上，通过商，得到连续的双射 $G/H_x$的$\varphi_x$到M上。那么$\varphi_x$是$G/H_x$到M*的同胚（在其他字（GT，III, §2, No. 5）M是拓扑齐次空间）。