习题 26, § 2

令 S、T 为两个紧凑的空间，f 为定义在 S × T 上的有限数值函数。

a) 在阶中，S 到 $\mathbf{R}^T$ 的映射 s ↦ f(s,·) 是 S 到空间 $\mathscr{C}(T)$ 的连续映射，配备拓扑 $\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$，f 有界是必要且充分的，并且每个部分映射 $f(s, \cdot), f(\cdot, t)$ ($s \in S, t \in T$) 是连续的。 （要证明条件是充分的，首先证明$s \mapsto f(s, \cdot)$下S的像 M对于$\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$是紧致的。为此，观察当$\mathscr{C}(T)$配备了T上逐点收敛的拓扑时，$s \mapsto f(s, \cdot)$是连续的；使用Eberlein的定理（TVS， IV, §5, No. 3，Th 1) 到约化到证明，对于$\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$，每个序列$(f(s_n, \cdot))$在$\mathscr{C}(T)$中都有一个点，通过考虑合适的商，约化可以度量。 T 的空间 (cf. Exer. 10 a))，并观察到，在 $\mathscr{C}(T)$ 的子集对于 T 上的点向收敛的拓扑相对紧凑，这个拓扑与 T 的稠密子集上的点向收敛的拓扑相同。 $(f(s_n, \cdot))$ 的子序列在 T 上逐点收敛，并应用勒贝格的定理。最后观察到在M上，逐点收敛的拓扑$\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$和拓扑是相同的。）

b) 假设每个部分映射$f(s, \cdot), f(\cdot, t)$都是连续的($s \in S, t \in T$)。证明对于 S 上的每个正测度 $\mu$ 和每个 $\varepsilon > 0$，都存在一个紧凑的子集 $K \subset S$，使得 f 到 $K \times T$ 的 $\mu(S - K) \leq \varepsilon$ 和限制是连续的。 (约化对于f有界的情况；应用a)和Exer。 25 c).)

c) 使用与 b) 中相同的假设，证明 f 对于 $S \times T$ 上的每个测度 $\nu$ 都是可测量的。 （将b）应用于$S \times T$的投影下的$\nu$的像到S上。）