习题 25, § 1

令 F 为可分离的 Fréchet 空间，其中 $\sigma(F, F')$ 的每个柯西序列对于此拓扑都是收敛的（对于例空间 $L^1(T', \nu)$，其中 $T'$ 有一个可数基（第 1 章） V, §5，埃克瑟。 16 b)))。 证明 T 到 F 中的每个标量本质可积映射 f 都是标量可积的。 （首先证明对于每个具有紧凑支持的函数$g \in \mathscr{L}^\infty(\mu)$，都有$\int gf\, d\mu \in F$，在注意到上，f是$\mu$可测的（No. 5，第12条命题），在应用第8条No. 2和假设上。 由此，在假设的帮助下，推出$\int_A gf\, d\mu \in F$对于每个函数$g \in \mathscr{L}^\infty$和每个集合A，它是紧集的可数并。 Finally, with the notations of Exer. 19, prove that the image under $u_f$ of every equicontinuous subset of $F'$ is relatively weakly compact in $L^1$, using Eberlein’s theorem (TVS, IV, §5, No. 3, Th. 1) and the fact that the equicontinuous subsets of $F'$ are metrizable for $\sigma(F', F)$.)