习题 17, § 1

设$T$是$T$的局部紧凑空间，$S$子集，配备合成$(x, y) \mapsto xy$的律，使其成为幺半群$^1$（不一定先验中性元素），并且在$S$配备拓扑时$S \times S$

$^1$ Monoïde，如早期版本的 Alg., Ch. 中所定义。 I，不需要有中性的元素，因为它是阿尔盖布尔合订版中的；这里指的是关联岩浆（A，I, §1, No. 3，Def.5）。

由T引起。假设在加法中，S的每个元素都是可取消的²（A，I, §2, No. 2）。令 $\mu$ 为 T 上的有界正测度，集中于 S（因此 S 为 $\mu$ 可测量）且总质量为 1。假设 $\mu$ 在以下意义上保持不变：对于 S 上定义的每个数值函数 $f$，连续且有界（因此 $\mu$ 可通过以下方式测量）第 IV, §5, No. 5，第 8 条命题），对于所有 $s \in S$ 都有 $\int f(sx)\, d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x)$。对于 S 的每个紧凑子集 K 来说，$\mu(sK) = \mu(K)$ 也是同样的道理。

a) 考虑在$T \times T$上采取乘积措施$\mu \otimes \mu$；证明存在 S 的紧子集 K，使得 $K \times K$ 的像在两个连续映射 $(x, y) \mapsto (x, xy)$ 和 $(x, y) \mapsto (xy, x)$ 下测度任意接近 1（使用 Lebesgue–Fubini 定理）。由此结论可知这些像有公共的点，并由此推导出S有中性元素（cf.A，I, §2，Exer.9）。

b) 证明 S 是紧的群。 （首先证明对于每个$x \in S$，内部测度$\mu_*(xS)$等于1，因此$xS$是可测的，且测度集中在$xS$；则$xS$是可以应用a）结果的幺半群，这表明S是群。按照命题 2 进行论证，证明 S 是紧的。最后，使用Exer。 GT 21，III, §4.³)