习题 10, § 7

a) 令 E 为 Hausdorff 且完全局部凸空间，$E'$ 其对偶，${E'}^* \supset E$ $E'$ 的代数对偶。令 A 为 E 的子集，对于弱化的拓扑 $\sigma(E,E')$ 是紧致的。对于弱拓扑$\sigma({E'}^*,E')$，令$x$为A的凸包络C的闭包中${E'}^*$的点。证明如果$(x_n')$是$E'$的点的序列，对于弱拓扑$\sigma(E',E)$收敛到$a' \in E'$，则$\lim_{n \to \infty} \langle x, x_n' \rangle = \langle x, a' \rangle$。 （注，$x$是 A 上质量 1 的质心，并应用勒贝格的定理。）

b) 由a)推导出，如果点的E序列对于原拓扑来说存在稠密，则限制到映射$x' \mapsto \langle x, x' \rangle$的$E'$的每一个等连续子集$H'$对于弱连续拓扑 $\sigma(E',E)$（拓扑由 $\sigma(E',E)$ 在 $H'$ 上诱发的注是可度量的）。推断在这种情况下，必然$x \in E$（TVS，IV, §5, No. 5）；在其他字中，集合的E中的封闭凸包络对于弱化的拓扑来说是紧致的，对于拓扑来说又是紧致的。

c) 扩展 b) 的结果，对于 E 是任何拟完全 Hausdorff 局部凸空间 (Krein 的定理) 的情况。 （首先约化考虑$\widehat{E}$，E是完备的；然后注，凭借Eberlein的定理（TVS，IV, §5, No. 3，Th.1），足以证明点的每一个序列$(x_n)$ C 在 E 中对于 $\sigma(E,E')$ 有一个簇点；这允许减少到在 E 序列中存在原始拓扑密集的情况。）