习题 15, § 5

设H是空间$\mathscr{L}^1(T, \mu)$的有界子集，$\widetilde{H}$是Banach空间$L^1(T, \mu)$中的典范像。证明以下条件是等价的：

$\alpha$ 以下两个条件中的集合成立： $\alpha_1$ 对于每一个 $\varepsilon > 0$，都存在紧集 $L \subset T$，使得 $\int_{T - L} |f| \, d\mu \leq \varepsilon$ 对于所有 $f \in H$； $\alpha_2$ 对于每一个 $\varepsilon > 0$，都存在一个$\eta > 0$，这样，对于 T 的每一个开集合 U，使得 $\mu^*(U) \leq \eta$，对于所有$f \in H$，都有一个$\int_U |f| \, d\mu \leq \varepsilon$。

$\beta$ 条件 $\alpha_1$ 以及以下条件 $\beta_2$ 都成立： $\beta_2$ 对于每个紧集 $K \subset T$ 和每个 $\varepsilon > 0$，存在一个 K 的开邻域 U，使得对于所有 $f \in H$ 都有$\int_{U - K} |f| \, d\mu \leq \varepsilon$。

γ) 对于 $\mathscr{L}^\infty$ 中函数的每一个序列 $(g_n)$，一致有界且收敛于函数 $g$，当 $f$ 超过 $\mathrm{H}$ 时，一个人均匀地具有 $\lim_{n \to \infty} \int f g_n \, d\mu = \int f g \, d\mu$。

δ) 对于函数的每一个序列$(h_n)$，在$\mathrm{T}$上连续，并且在点无穷远处趋向于0，均匀有界，并且对于每个$t \in \mathrm{T}$，$\lim_{n \to \infty} h_n(t) = 0$，当$f$运行时，$\lim_{n \to \infty} \int f h_n \, d\mu = 0$均匀地运行超过$\mathrm{H}$。

ζ) 对于不相交的开集合和$\mathrm{T}$的每个无限序列$(\mathrm{U}_n)$，当$f$运行超过$\mathrm{H}$时，一个人均匀地拥有$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathrm{U}_n} f \, d\mu = 0$。

（为了证明 ζ) 意味着 β) 并且 β) 意味着 α)，请使用“滑动驼峰方法”，与 Exer 中的方式相同。 13b).然后证明α）蕴含γ），γ）蕴含δ），δ）蕴含z）。）

此外，如果假设对于每个$t \in \mathrm{T}$，使得$\mu(\{t\}) \neq 0$，$f(t)$的集合在$\mathbf{R}$中*有界*，因为$f$运行在$\mathrm{H}$上，则证明前面的条件等价于条件：

θ) $\widetilde{\mathrm{H}}$ 是弱化的拓扑 $\sigma(L^1, L^\infty)$ 相对紧凑的 $L^1$ 子集。

（为了表明 θ）蕴含 β），使用 Šmulian 的定理（TVS、IV, §5, No. 3、Th.2）和“滑行驼峰方法”进行矛盾论证。为了证明 α) 蕴含 θ)，证明 $\mathrm{H}$ 有界于 $\mathscr{L}^1$，然后应用 Eberlein 的定理（TVS，IV, §5, No. 3，Th.1），并利用 Exer。 14.)