Bài tập 15, § 5

Cho H là một tập con bị chặn của không gian $\mathscr{L}^1(T, \mu)$, $\widetilde{H}$ là ảnh chính tắc của nó trong không gian Banach $L^1(T, \mu)$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

$\alpha$ Tập hợp hai điều kiện sau được thỏa mãn: $\alpha_1$ với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $L \subset T$ sao cho $\int_{T - L} |f| \, d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $f \in H$; $\alpha_2$ với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\eta > 0$ sao cho, với mọi tập mở U của T thỏa mãn $\mu^*(U) \leq \eta$, ta có $\int_U |f| \, d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $f \in H$.

$\beta$ Cả điều kiện $\alpha_1$ và điều kiện sau $\beta_2$ đều được thỏa mãn: $\beta_2$ với mọi tập compact $K \subset T$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận mở U của K sao cho $\int_{U - K} |f| \, d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $f \in H$.

γ) Với mọi dãy $(g_n)$ các hàm trong $\mathscr{L}^\infty$, bị chặn đều và hội tụ theo độ đo đến một hàm $g$, ta có $\lim_{n \to \infty} \int f g_n \, d\mu = \int f g \, d\mu$ đều khi f chạy trên $\mathrm{H}$.

δ) Với mọi dãy $(h_n)$ các hàm liên tục trên $\mathrm{T}$ và tiến về 0 tại điểm ở vô cực, bị chặn đều và sao cho $\lim_{n \to \infty} h_n(t) = 0$ với mọi $t \in \mathrm{T}$, ta có $\lim_{n \to \infty} \int f h_n \, d\mu = 0$ đều khi f chạy trên $\mathrm{H}$.

ζ) Với mọi dãy vô hạn $(\mathrm{U}_n)$ các tập mở rời nhau từng đôi một của $\mathrm{T}$, ta có $\lim_{n \to \infty} \int_{\mathrm{U}_n} f \, d\mu = 0$ đều khi f chạy trên $\mathrm{H}$.

(Để chỉ ra rằng ζ) kéo theo β) và β) kéo theo α), hãy sử dụng một «phương pháp bướu trượt» theo cùng cách như trong Exer. 13 b). Sau đó chứng minh rằng α) kéo theo γ), γ) kéo theo δ), và δ) kéo theo ζ).)

Nếu ngoài ra giả sử rằng, với mọi $t \in \mathrm{T}$ sao cho $\mu(\{t\}) \neq 0$, tập hợp các $f(t)$ là bị chặn trong $\mathbf{R}$ khi f chạy trên $\mathrm{H}$, hãy chứng minh rằng các điều kiện trước đó tương đương với điều kiện:

θ) $\widetilde{\mathrm{H}}$ là một tập con tương đối compact của $L^1$ đối với tôpô yếu hơn $\sigma(L^1, L^\infty)$.

(Để chỉ ra rằng θ) kéo theo β), hãy lập luận bằng phản chứng, sử dụng định lý Šmulian (TVS, IV, §5, No. 3, Th. 2) và một «phương pháp bướu trượt». Để chỉ ra rằng α) kéo theo θ), hãy chứng minh rằng $\mathrm{H}$ bị chặn trong $\mathscr{L}^1$, sau đó áp dụng định lý Eberlein (TVS, IV, §5, No. 3, Th. 1), và sử dụng Exer. 14.)