Exercice 15, § 5

Soit H une partie bornée de l’espace $\mathscr{L}^1(T, \mu)$, $\tilde{H}$ son image canonique dans l’espace de Banach $L^1(T, \mu)$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) On a l’ensemble des deux conditions : $\alpha_1$ pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $L \subset T$ tel que $\int_{T - L}|f|\, d\mu \leq \varepsilon$ pour toute $f \in H$; $\alpha_2$ pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout ensemble ouvert U de T tel que $\mu^*(U) \leq \eta$, on ait $\int_U |f|\, d\mu \leq \varepsilon$ pour toute $f \in H$. β) On a l’ensemble des deux conditions $\alpha_1$ et $\beta_2$: pour tout ensemble compact $K \subset T$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage ouvert U de K tel que $\int_{U - K}|f|\, d\mu \leq \varepsilon$ pour toute $f \in H$. γ) Pour toute suite $(g_n)$ de fonctions de $\mathscr{L}^\infty$, uniformément bornée et qui converge en mesure vers une fonction g, on a $\lim_{n \to \infty} \int fg_n\, d\mu = \int fg\, d\mu$ uniformément lorsque $f$ parcourt H. δ) Pour toute suite $(h_n)$ de fonctions continues dans T et tendant vers 0 au point à l’infini, uniformément bornée et telle que $\lim h_n(t) = 0$ pour tout $t \in T$, on a $\lim_{n \to \infty} \int f h_n\, d\mu = 0$ uniformément lorsque $f$ parcourt H. ζ) Pour toute suite infinie $(U_n)$ d’ensembles ouverts de T deux à deux disjoints, on a $\lim_{n \to \infty} \int_{U_n} f\, d\mu = 0$ uniformément lorsque $f$ parcourt H.

(Pour montrer que $\zeta$ entraîne $\beta$) et que $\beta$ entraîne $\alpha$), utiliser une « méthode de la bosse glissante » de la même façon que dans l’exerc. 13 b). Prouver ensuite que $\alpha$ entraîne $\gamma$, que $\gamma$ entraîne $\delta$ et que $\delta$ entraîne $\zeta$.)

Si on suppose en outre que, pour tout $t \in T$ tel que $\mu(\{t\}) \neq 0$, l’ensemble des $f(t)$ est borné dans $\mathbf{R}$ lorsque $f$ parcourt $H$, montrer que les conditions précédentes sont équivalentes à la condition :

$\theta)$ $\widetilde{H}$ est une partie relativement compacte de $L^1$ pour la topologie affaiblie $\sigma(L^1, L^\infty)$.

(Pour montrer que $\theta$ entraîne $\beta$), raisonner par l’absurde en utilisant le th. de Šmulian (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 13) et une « méthode de la bosse glissante ». Pour montrer que $\alpha$ entraîne $\theta$), montrer que $H$ est bornée dans $\mathscr{L}^1$, puis appliquer le th. d’Eberlein (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 15), et utiliser l’exerc. 14.)