习题 10, § 2

令 K 为紧空间。对于 K 的每个 Hausdorff 商空间 $K_1$，可以通过单射 $f \mapsto f \circ \pi$ 来识别具有 $\mathscr{C}(K)$ 的闭子空间的 Banach 空间 $\mathscr{C}(K_1)$，其中 $\pi$ 是 K 的典范映射 $K_1$。

a) 设 u 是 $\mathscr{C}(K)$ 的连续线性映射到准完全 Hausdorff 局部凸空间 F。在阶中，u 变换单位 $\mathscr{C}(K)$ 的球进入对于 $\sigma(F, F')$ 相对紧凑的 F 的子集，它对于 K 的每个“可度量”商空间 $K_1$，u 到 $\mathscr{C}(K_1)$ 的限制都有性质就足够了。 （利用Eberlein的定理（TVS，IV, §5, No. 3，Th.1），并观察$\mathscr{C}(K)$中的每个序列$(f_n)$都包含在子空间$\mathscr{C}(K_1)$中，其中$K_1$是可度量的商K 的空间；为此，我们将 K 的连续映射 $x \mapsto (f_n(x))$ 视为 $\mathbf{R}^N$。）

b) 对于 K 的每个豪斯多夫商空间$K_1$，$\mathscr{C}(K_1)$的典范嵌入到$\mathscr{C}(K)$的转置等于$\mathscr{M}(K)$到$\mathscr{M}(K_1)$的映射$\mu \mapsto \pi(\mu)$。表示

²这个引理，从第 2 章第二版中被压制。 V，断言$\int^* fg\, d\mu = \inf \int^* \varphi g\, d\mu$，其中f和g是数值函数$\geq 0$，g是可测量的，$\varphi$超过可测量的函数$\geq f$的集合。

由 $(\mathscr{M}(K))'$ Banach 空间 $\mathscr{M}(K)$ 的对偶（$\mathscr{C}(K)$ 的对偶）。为了使$\mathscr{M}(K)$的子集A对于$\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$相对紧凑，对于K的每个可度量商空间$K_1$，$\mathscr{M}(K_1)$中的A的典范像对于$\sigma(\mathscr{M}(K_1), (\mathscr{M}(K_1))')$相对紧凑是必要且充分的。 （观察 A 是强有界的；然后可以假设 A 对于模糊的拓扑 $\sigma(\mathscr{M}(K), \mathscr{C}(K))$ 是凸的、平衡的和封闭的（适用于第 IV, §7 章的 $\mathscr{M}(K_1)$ Exer. 10）；因此 A 是 Banach 的对偶 $F'$ 的单位球的像空间 F，在 $\mathscr{C}(K)$ 的连续线性映射 $u$ 的转置下进入 F（考虑$\mathscr{C}(K)$中 A 的极坐标）；