习题 10, § 1

令 $G, H$ 为两个 Fréchet 空间、$G_0$（分别为 $H_0$）、$G$（分别为 $H$）的稠密子集，以及 $T$ 的$t \mapsto \Phi_t$ 映射到空间 $G \times H$上连续双线性形式的$F = \mathscr{B}(G,H)$，配备逐点收敛的拓扑。假设：$1^\circ$对于每个对$(a,b) \in G_0 \times H_0$，$t \mapsto \Phi_t(a,b)$本质上是$\mu$可积； $2^\circ$ 如果对于有界子集 $A \subset G$、$B \subset H$ 中的每一个对，每个 $\Phi \in \mathscr{B}(G,H)$ 都有一个集合 $q_{A,B}(\Phi) = \sup_{(x,y) \in A \times B} |\Phi(x,y)|$，则$\int^* q_{A,B}(\Phi_t)\,d\mu(t) < +\infty$。在这些条件下，证明$t \mapsto \Phi_t$本质上是$\mu$可积和$\int \Phi_t\,d\mu(t) \in F$（使用Lebesgue的定理，约化到应用Cor.1 of Th.1）。特殊情况，$H = \mathbf{R}$。