习题 15, § 2

a) 令 $f$ 为 $T$ 的可标量局部可积映射为准完备 Hausdorff 局部凸空间 $F$。那么 $\mathbf{m} = f \cdot \mu$ 是${F'}^*$ 中值的矢量测度（对于拓扑 $\sigma({F'}^*, F')$）。证明如果这个测度是绝对连续的（对于 $F'$ 的等连续子集上均匀收敛的拓扑），而且，如果 $f$ 是 $\mu$-*可测*（对于 $F$ 的原始拓扑），则 $\mathbf{m}$ 是一个矢量测度值在$F$。 （利用§1, No. 2的第8条命题。）如果$F$是Banach空间，并且对于某些$p > 1$，对于所有$z' \in F'$，$\langle z', f \rangle$属于到$\overline{\mathscr{L}}^p(\mu)$，则测度$\mathbf{m}$绝对连续（cf. 练习。14 a））。

b) 让$I = [0, 1]$、$f$函数定义在$I \times I$上（使用连续体假设），使得对于每个$t \in I$，$s \mapsto f(s, t)$是可数集合的特征函数，并且，对于每个$s \in I$, $t \mapsto f(s, t)$ 是可数集合的补集的特征函数 (Ch. V, §8, Exer. 7 c))。用$I_0$表示配备离散拓扑的区间$I$，用$F$表示$I$上有界函数的Banach空间$\mathscr{B}(I) = L^\infty(I)$；一个可以确定 $F$ 与空间 $\mathscr{C}(\widetilde{I}_0)$ 的连续函数在 $I_0$ 的 Stone–Čech 压实上。对于每个$s \in I$，用$F$的$g(s)$元素$t \mapsto f(s, t)$表示；证明 $g$ 对于 $I$ 上的勒贝格测度 $\mu$ 是可标量可积的；但 $\int g\, d\mu$ 不会属于到 $F$。更准确地说，$g \cdot \mu$ 是$F''$ 中值的矢量测量，等于$c\mu$，其中$c$ 是由$\widetilde{I}_0 - I_0 = E$ (cf. Exer.12 a)) 的特征函数识别的常数向量。 （将 $\widetilde{I}_0$ 上的每个正测度分解为原子测度和扩散测度的和（第 V, §5, No. 10，命题 15），并观察到扩散测度由 E 携带。） 由此，推断不存在任何 $\mu$ 可测函数 $h$ 值在$F$中，使得$h - g$标量$\mu$可忽略不计（利用$a$）。