习题 14, § 1

令$\mu$为$T = [0, 1]$的勒贝格测度；用$\mu$上的$\mathbf{R}$上的$F$向量空间表示，$T$上可测有限数值函数，配备逐点收敛的拓扑，这使其成为Hausdorff局部凸空间。

a) 证明$F$中存在可数稠密子集（考虑$T$上连续数值函数的Banach空间$C(T)$中的稠密序列）。

b) 对于每个$t \in T$，令$f(t)$为由$\langle f(t), z \rangle = z(t)$为所有$t \in T$定义的$F$的对偶$F'$的元素。证明，当 $F'$ 配备拓扑 $\sigma(F', F)$ 时，$f$ $\mu$ 标量可测，但$\mu$ 不可测（cf. 命题 13）。