Exercice 14, § 1

Soit μ la mesure de Lebesgue sur T = (0, 1); on désigne par F l'espace vectoriel sur R des fonctions numériques finies μ-mesurables sur T, muni de la topologie de la convergence simple, qui en fait un espace localement convexe séparé.

a) Montrer qu'il existe dans F une partie dénombrable partout dense (considérer une suite partout dense dans l'espace de Banach C(T) des fonctions numériques continues dans T).

b) Pour tout t ∈ T, soit f(t) l'élément du dual F' de F défini par ⟨f(t), z⟩ = z(t) pour tout t ∈ T. Montrer que, lorsque F' est muni de la topologie σ(F', F), f est scalairement μ-mesurable mais n'est pas μ-mesurable (cf. prop. 13).