Bài tập 14, § 1

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$; ký hiệu $F$ là không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ gồm các hàm số hữu hạn đo được theo $\mu$ trên $T$, được trang bị tôpô hội tụ điểm, làm cho nó trở thành một không gian lồi địa phương Hausdorff.

a) Chứng minh rằng tồn tại trong $F$ một tập con trù mật đếm được (xét một dãy trù mật trong không gian Banach $C(T)$ gồm các hàm số liên tục trên $T$).

b) Với mọi $t \in T$, cho $f(t)$ là phần tử của không gian đối ngẫu $F'$ của $F$ được xác định bởi $\langle f(t), z \rangle = z(t)$ với mọi $t \in T$. Chứng minh rằng, khi $F'$ được trang bị tôpô $\sigma(F', F)$, $f$ là vô hướng $\mu$-đo được nhưng không $\mu$-đo được (xem Mệnh đề 13).