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章 VI

向量积分

在这个章中，如果F表示Hausdorff局部凸向量空间（超过$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$），我们用$F'$表示它的对偶，用$F''$表示它的对偶，用${F'}^*$表示$F'$的代数对偶（空间 $F'$ 上所有线性形式）； $F''$是${F'}^*$的线性子空间，并且F可以用$F''$的线性子空间来识别（作为没有拓扑的向量空间）。我们用$F_\sigma$向量空间F表示配备了弱化的拓扑$\sigma(F, F')$；限定词“weak”和“weakly”指的是这个拓扑。

在这个章中，T表示T上实数（或复数）函数的局部紧致空间、$\mathscr{K}_\mathbf{R}(T)$或$\mathscr{K}(T)$（分别为$\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$）向量空间，连续且具有紧支撑；对于 T 的每个子集 A，$\mathscr{K}(T, A)$（分别为 $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, A)$）表示由函数形成的 $\mathscr{K}(T)$（分别为 $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$）的子空间，其支持包含在 A 中。没有明确提及相反的情况，空间 $\mathscr{K}(T)$（分别$\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$）将在子空间$\mathscr{K}(T, K)$（分别$\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, K)$）上配备均匀收敛拓扑的直极限拓扑，其中K运行在T的紧凑子集的集合上。

我们回想一下，一致收敛的拓扑比拓扑是更细，因此是Hausdorff；它在每个$\mathscr{K}(T, K)$（分别为$\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, K)$）拓扑均匀收敛（TVS，II, §4, No. 4，注）上诱导。 空间$\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$可以用从$\mathbf{R}$到$\mathbf{C}$标量的扩张从$\mathscr{K}(T)$获得的空间来识别。说 $\mathscr{K}(T)$ 上的线性形式是一个度量，意味着通过定义，它是连续的（第 III, §1, No. 3，定义 2）。