习题 20, § 2

令 $F$ 为可分离的 Fréchet 空间，$F'$ 为对偶，$\mu$ $T$ 上的正测度，$m$ $T$ 上的测度，值为弱对偶 $F'_s$，基的标量$\mu$。对于 $m$ 至

³ 根据 Feuille d’errata No 14，这个习题应该被抑制。

有基$\mu$，则满足以下条件是必要且充分的：对于$\varepsilon > 0$和$T$的每个紧凑子集$K$，存在一个紧凑子集$K_1 \subset K$使得$\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$，并且使得$\mu$-可测函数$g$有界的集合$m$下的像，有$K_1$和满足$\int |g| d\mu \leq 1$包含的支持，是等连续的子集 $F'$。 （回想一下，对于每个 $\mu$ 可测函数 $g$，$\int g dm \in F'$ 有界且具有紧支持；cf. 命题 3 的 Cor. 2。 为了证明条件是必要的，请使用§1, No. 5的第13条命题和§1, No. 2的第5条命题。 要证明条件足够，首先考虑 $T$ 是紧致的情况； 应用科。 3 Th。 1、No. 5，首先证明存在$T$的划分到可忽略的集合$N$和序列$(K_n)$的紧集，以及可测量的映射$g$ $T$ 转化为 $F'_s$，使得对于每个函数 $f \in \mathscr{L}^\infty(\mu)$，$\int f dm = \int gf d\mu$ 是零对并的补集数 of 集合 $K_n$；要证明 $m = g \cdot \mu$，请使用 Exers。第 16 章 b) 和 20 a)。 V, §5。 最后，要传递到 $T$ 是任何局部紧凑空间的情况，请使用第 1 章的 Prop. 14。 IV, §5, No. 9。）