习题 21, § 2

令$F$为Banach空间，$u$为Banach空间$L_F^p(T, \mu)$上的连续线性形式；用 $p$ 的 $q$ 共轭指数表示，用 $\mu$ 可积集合上数值步长函数的$\mathscr{E}$ 空间表示。对于$f \in \mathscr{L}^p$和$z \in F$，可以写成$u(fz) = \langle z, m(f) \rangle$，其中$m$是$\mathscr{L}^p$的连续线性映射到$F'$，这样$|m(f)| \leq \|u\| \cdot N_p(f)$。

a) 令$(A_i)_{1 \leq i \leq n}$为$\mu$可积集合的有限序列，成对不相交的且不可忽略。表明

（对于$F$中向量的每个系统$(a_i)_{1 \leq i \leq n}$，使得$|a_i| = 1$，考虑$\mathbf{R}^n$上的线性形式$(\xi_i) \mapsto u(\sum_i \xi_i a_i \varphi_{A_i})$，并将V, §5, No. 8第4章应用于具有有限支撑的度量。）由此推论，如果$A = \bigcup_i A_i$，则$\sum_i |m(\varphi_{A_i})| \leq \|u\| (\mu(A))^{1/p}$（应用明可夫斯基的不等式）。

b) 对于每个正数函数$f \in \mathscr{E}$、集合$\nu(f) = \sup (\sum_i |m(f \varphi_{A_i})|)$，其中$(A_i)$超过成对不相交的$\mu$可积集合的有限序列的集合。证明 $\nu$ 是限制到 $\mathscr{E}$ 的正测度，基 $\mu$（再次表示为 $\nu$）在 $T$ 上，使得 $|m(f)| \leq \nu(f)$ 对于每个正函数 $f \in \mathscr{E}$（利用a））。

c) 证明如果 $F$ 是可分的，则存在 $T$ 的映射 $g$ 进入 $F'$，标量 $\mu$ 可测，这样对于每个函数 $f \in \mathscr{L}_F^p$ 都有 $u(\tilde{f}) = \int \langle f, g \rangle d\mu$，并且$\|u\| = N_q(g)$。 （要建立最后一个等式，请使用§1, No. 5的Prop.13和§1的Exer.13。）

d) 从 c) 推出，如果 $F$ 是自反可分 Banach 空间，则空间 $L_F^p$ 是 $1 < p < +\infty$ 自反（应用 §1, No. 5 的第 12 条命题）。