Exercice 21, § 2

Soient $F$ un espace de Banach, $u$ une forme linéaire continue sur l’espace de Banach $L^p_F(T, \mu)$; on désigne par $q$ l’exposant conjugué de $p$, par $\mathscr{E}$ l’espace des fonctions étagées numériques sur les ensembles $\mu$-intégrables. On peut écrire, pour $f \in \mathscr{L}^p, z \in F, u(fz) = \langle z, m(f) \rangle$, où $m$ est une application linéaire continue de $\mathscr{L}^p$ dans $F'$ telle que $|m(f)| \leq \|u\| . N_p(f)$.

a) Soit $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie d’ensembles $\mu$-intégrables non négligeables, deux à deux disjoints. Montrer que l’on a

(Pour tout système $(\mathbf{a}_i)_{1 \leq i \leq n}$ de vecteurs de $F$ tels que $|\mathbf{a}_i| = 1$, considérer la forme linéaire $(\xi_i) \to u(\sum_i \xi_i \mathbf{a}_i \varphi_{A_i})$ sur $\mathbf{R}^n$, et appliquer le th. 4 du chap. V, § 5, no 8, à une mesure de support fini.) En déduire que, si $A = \bigcup_i A_i$, on a $\sum_i |\mathbf{m}(\varphi_{A_i})| \leq \|u\| (\mu(A))^{1/p}$ (appliquer l'inégalité de Minkowski).

b) Pour toute fonction positive $f \in \mathscr{E}$, on pose $\nu(f) = \sup (\sum_i |\mathbf{m}(f \varphi_{A_i})|)$ où $(A_i)$ parcourt l'ensemble des suites finies d'ensembles $\mu$-intégrables, deux à deux disjoints. Montrer que $\nu$ est la restriction à $\mathscr{E}$ d'une mesure positive de base $\mu$ (notée encore $\nu$) sur $T$, telle que $|\mathbf{m}(f)| \leq \nu(f)$ pour toute fonction positive $f \in \mathscr{E}$ (utiliser $a$).

c) Montrer que, si $F$ est de type dénombrable, il existe une application $g$ de $T$ dans $F'$, scalairement $\mu$-mesurable, telle que $u(\tilde{f}) = \int \langle \tilde{f}, g \rangle d\mu$ pour toute fonction $f \in L_p^p$, et que $\|u\| = N_q(g)$. (Pour établir la dernière égalité, utiliser la prop. 13 du § 1, no 5 et l'exerc. 13 du § 1.)

d) Déduire de c) que, si $F$ est un espace de Banach réflexif de type dénombrable, l'espace $L_p^p$ est réflexif pour $1 < p < +\infty$ (appliquer la prop. 12 du § 1, no 5).