Bài tập 21, § 2

Cho $F$ là một không gian Banach, $u$ là một dạng tuyến tính liên tục trên không gian Banach $L_F^p(T, \mu)$; ký hiệu $q$ là số mũ liên hợp của $p$, và $\mathscr{E}$ là không gian các hàm bậc thang số trên các tập $\mu$-khả tích. Với $f \in \mathscr{L}^p$ và $z \in F$, ta có thể viết $u(fz) = \langle z, m(f) \rangle$, trong đó $m$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $\mathscr{L}^p$ vào $F'$ sao cho $|m(f)| \leq \|u\| \cdot N_p(f)$.

a) Cho $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy hữu hạn các tập $\mu$-khả tích, từng đôi một rời nhau và không đáng kể. Chứng minh rằng

(Với mọi hệ $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ các vectơ trong $F$ sao cho $|a_i| = 1$, xét dạng tuyến tính $(\xi_i) \mapsto u(\sum_i \xi_i a_i \varphi_{A_i})$ trên $\mathbf{R}^n$, và áp dụng Định lý 4 của Ch. V, §5, No. 8 cho một độ đo có giá hữu hạn.) Từ đó, suy ra rằng nếu $A = \bigcup_i A_i$, thì $\sum_i |m(\varphi_{A_i})| \leq \|u\| (\mu(A))^{1/p}$ (áp dụng bất đẳng thức Minkowski).

b) Với mọi hàm dương $f \in \mathscr{E}$, đặt $\nu(f) = \sup (\sum_i |m(f \varphi_{A_i})|)$, trong đó $(A_i)$ chạy trên tập hợp các dãy hữu hạn gồm các tập hợp $\mu$-khả tích từng đôi một rời nhau. Chứng minh rằng $\nu$ là hạn chế xuống $\mathscr{E}$ của một độ đo dương có cơ sở $\mu$ (vẫn ký hiệu là $\nu$) trên $T$, sao cho $|m(f)| \leq \nu(f)$ với mọi hàm dương $f \in \mathscr{E}$ (sử dụng a)).

c) Chứng minh rằng nếu $F$ là tách được, tồn tại một ánh xạ $g$ từ $T$ vào $F'$, $\mu$-đo được vô hướng, sao cho $u(\tilde{f}) = \int \langle f, g \rangle d\mu$ với mọi hàm $f \in \mathscr{L}_F^p$, và $\|u\| = N_q(g)$. (Để thiết lập đẳng thức cuối cùng, sử dụng Mệnh đề 13 của §1, No. 5 và Bài tập 13 của §1.)

d) Suy ra từ c) rằng nếu $F$ là một không gian Banach phản xạ tách được, không gian $L_F^p$ là phản xạ với $1 < p < +\infty$ (áp dụng Mệnh đề 12 của §1, No. 5).