习题 5, § 1

对于每个$t \in \mathbf{R}$，令$f(t)$为连续函数$x \mapsto \exp(-2\pi i tx)$，即$\mathbf{R}$上连续复形函数的空间$\mathscr{C} = \mathscr{C}_C(\mathbf{R})$的元素。 空间$\mathscr{C}$与空间$\mathscr{C}' = \mathscr{C}'_C(\mathbf{R})$在$\mathbf{R}$上具有紧凑支持的复杂措施具有对偶性；具有紧支撑的连续复形函数的空间$\mathscr{K} = \mathscr{K}_C(\mathbf{R})$可以通过将函数$\varphi \in \mathscr{K}$与相对于勒贝格测度具有密度$\varphi$的测度识别来规范地识别为$\mathscr{C}'$的子空间。 1 表示 $\mathscr{K}$ 的 $\mathscr{D}$ 子空间，由具有紧支撑的不定可微复形函数形成。 证明，当$\mathscr{C}$配备拓扑$\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{C}')$或拓扑$\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{K})$时，$f$对于勒贝格测度$\mu$不可标量可积；然而，对于拓扑 $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{D})$，$f$ 是 $\mu$ 标量可积的，$\int f d\mu$ 是$\varepsilon_0$ 的测度；证明在这种情况下，第7条命题的条件得到验证。*