习题 5, § 3

令 E 为集合，$\mathscr{T}$ E 的子集的一个部落，m 为 $(E, \mathscr{T})$ 的抽象测度，$p \geq 1$ 为有限的实数。对于 E 上的每个数值函数 f，一个集合 $N_p(f) = m^*(|f|^p)^{1/p}$ 和一个由函数 f 的 $\mathscr{F}^p$ 集合表示，使得 $N_p(f)$ 是有限的（cf. §1，Exer.4）。一个将向量空间 $\mathscr{F}^p$ 与半范数 $N_p$ 装备在一起，就完成了。

a) 令 $\mathscr{N}$ 为函数 f 的集合，使得由有限函数属于到 $\mathscr{M}$ 生成$m^*(|f|) = 0$、$\mathscr{V}$ 向量空间，以及$\mathscr{L}^p$ 最小的闭线性子空间 $\mathscr{F}^p$ 包含特征函数集合 $A \in \mathscr{T}$ 使得 $m^*(A)$ 是有限的。显示$\mathscr{L}^p = \mathscr{N} + (\mathscr{V} \cap \mathscr{F}^p)$。

b) 扩展 Lebesgue 的定理（第 IV, §3, No. 7，第 6 章）针对当前情况，并特别检查$p = 1$ 情况（我们将定义函数 $f \in \mathscr{L}^1$ 的积分）。

c) 如果 $\varphi_A \in \mathscr{L}^1$，则 $E$ 的子集 $A$ 被称为 $m$ 可积。证明存在集合$A' \in \mathscr{T}$使得$m^*(A \cap \complement A') = m^*(A' \cap \complement A) = 0$。 逆命题，在$m(E)$有限的情况下。