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附录

拓扑补集向量空间

1. 双线性形式和线性映射

令 $(F_1, G_1), (F_2, G_2)$ 为（实数或复数）向量空间的两个对分离对偶性（TVS，II, §6, No. 1）；假设每个空间都配备了相应的弱拓扑（*loc.cit.*，No. 2）；如果A和B是这些空间中的任何两个，像往常一样，我们用A到B中的连续线性映射的 $\mathscr{L}(A; B)$ 向量空间表示，并用 $A \times B$ 上*单独连续*双线性形式的 $\mathfrak{B}(A, B)$ 向量空间表示。

对于 $F_1 \times F_2$ 上的每个单独连续的双线性形式 $\Phi$ ， $x_1 \mapsto \Phi(x_1, x_2)$ 是 $F_1$ 上的连续线性形式，因此存在且仅一个元素 ${}^r\Phi(x_2) \in G_1$ 使得

\Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, {}^r\Phi(x_2) \rangle

对于 $x_1 \in F_1, x_2 \in F_2$ （TVS，III, §5, No. 1，（1））。此外，这个公式表明映射 $x_2 \mapsto {}^r\Phi(x_2)$ 对于 $F_2$ 和 $G_1$ 的（弱）拓扑是线性且连续的。相反，对于 $F_2$ 到 $G_1$ 的每个连续线性映射 $u$ ， $(x_1, x_2) \mapsto \Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, u(x_2) \rangle$ 是 $F_1 \times F_2$ 和 ${}^r\Phi = u$ 上的单独连续双线性形式。因此 $\mathfrak{B}(F_1, F_2)$ 的定义同构 $r : \Phi \mapsto {}^r\Phi$ 到 $\mathscr{L}(F_2; G_1)$ ，据说是*规范*。

同样，公式

\Phi(x_1, x_2) = \langle {}^l\Phi(x_1), x_2 \rangle

将 $\mathfrak{B}(F_1, F_2)$ 的定义*典范同构* $l : \Phi \mapsto {}^l\Phi$ 放到 $\mathscr{L}(F_1; G_2)$ 上；显然有交换律图表

\begin{array}{ccc} \mathscr{B}(F_1, F_2) & & \\ l & l^{-1} & r^{-1} \\ & & \\ \mathscr{L}(F_1; G_2) & \xleftarrow{t} & \mathscr{L}(F_2; G_1) \end{array}

其中 $t$ 是转置 $u \mapsto {}^t u$ 的同构。鉴于 $G_1$ 和 $G_2$ 上的弱拓扑定义，而且直接的，当 $\mathscr{B}(F_1, F_2)$ 、 $\mathscr{L}(F_1; G_2)$ 、 $\mathscr{L}(F_2; G_1)$ 配备逐点收敛的拓扑时，前面图表中的同构为同构拓扑向量空间结构。

现在令 $E, F$ 为两个 Hausdorff 局部凸空间、 $E', F'$ 它们各自的对偶；我们用配备了弱拓扑 $\sigma(E, E')$ ， $\sigma(F, F')$ 的 $E_\sigma, F_\sigma$ 空间 $E, F$ 表示，并用配备了弱拓扑 $\sigma(E', E)$ ， $\sigma(F', F)$ 的 $E'_s, F'_s$ 空间 $E', F'$ 表示。因此，前面的注在三个空间、 $\mathscr{B}(E_\sigma, F'_s)$ 、 $\mathscr{L}(E_\sigma; F_\sigma)$ 和 $\mathscr{L}(F'_s; E'_s)$ 之间建立了典范同构，并且还在三个空间 $\mathscr{B}(E_\sigma, F_\sigma)$ 、 $\mathscr{L}(E_\sigma; F'_s)$ 和 $\mathscr{L}(F_\sigma; E'_s)$ 之间建立了典范同构。人们会发现， $\mathscr{B}(E_\sigma, F_\sigma)$ 也等于 $E \times F$ 上单独连续的双线性形式的空间 $\mathscr{B}(E, F)$ （ $E$ 和 $F$ 配备了它们的原始拓扑），因为 $E$ （分别为 $F$ ）上的每个连续线性形式都是连续的 $E_\sigma$ （分别 $F_\sigma$ ），反之亦然（TVS、II, §6, No. 1 和 No. 2，第 3 条）。

令 $\mathscr{B}(E, F)$ 为 $E \times F$ 上连续双线性形式的空间（ $E$ 和 $F$ 配备其原始拓扑）；然后 $\mathscr{B}(E, F) \subset \mathscr{B}(E, F)$ 。

命题 1 09CS

对于双线性形式 $\Phi \in \mathscr{B}(E, F)$ 到属于到 $\mathscr{B}(E, F)$ ， $E$ 中存在0邻域是充分必要的，其 ${}^l \Phi$ 下的像是 $F'$ 的等连续子集。

被以下引用 1

被以下引用推论

因为，说 $\Phi$ 是连续的意味着 $E$ （或 $F$ ）中存在0的平衡凸邻域 $V$ （或 $W$ ），使得 $|\Phi(x, y)| \leq 1$ 对于 $x \in V$ ， $y \in W$ ；可以将 $x \in V$ 、 $y \in W$ 写成 $|\langle {}^l \Phi(x), y \rangle| \leq 1$ ，也可以写成 ${}^l \Phi(V) \subset W^\circ$ ；从而命题，考虑到 $F'$ 的每个等连续子集都包含在 $F$ 中0邻域的极坐标中。

推论 09CT

如果 $\Phi$ 是 $E \times F$ 上的连续双线性形式，则 ${}^l \Phi$ 是 $E$ 的连续线性映射进入 $F$ 的强对偶 $F'_b$ 。此外，如果 $E$ 和 $F$ 被范化为空间，则 $\|{}^l \Phi\| = \|\Phi\|$ 。

引用了 1

引用了命题 1

第一个断言由命题 1 得出，事实上 $F'_b$ 中 0 的每个邻域都吸收了 $F'$ 的每个等连续子集。如果 $E$ 和 $F$ 被标准化，那么

\|\Phi\| = \sup_{\|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1} |\Phi(x, y)| = \sup_{\|x\| \leq 1} \left( \sup_{\|y\| \leq 1} |\langle l \Phi(x), y \rangle| \right) = \sup_{\|x\| \leq 1} \|l \Phi(x)\| = \|l \Phi\|,

从而第二个断言。

交换E和F的作用，得到类似于命题1及其推论线性映射 $r \Phi$ 的结果；我们把陈述它们的任务留给了读者。

2. 空间中的一些型具有性质 (GDF)

我们已经知道每个 Fréchet 空间都有性质 (GDF)（TVS，I, §3, No. 3，Th.1 的 Cor. 5）。

命题 2 09CU

— 令 E 为向量空间， $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$ 具有性质 (GDF) 的局部紧凑空间族，对于每个 $\alpha \in A$ ，令 $h_\alpha$ 为 E 中 $F_\alpha$ 的线性映射。如果 E 配备有最精细的局部凸拓扑，则使得 $h_\alpha$ 连续，则 E 有性质 (GDF)。

被以下引用 1

被以下引用命题 3

令E的 $u$ 为Banach空间B中的线性映射，使得 $u$ 的图 $\Gamma$ 的点的每个收敛序列的 $E \times B$ 中的每个极限也为属于 $\Gamma$ 。足以证明，对于每个 $\alpha \in A$ ， $u \circ h_\alpha$ 在 $F_\alpha$ 上连续（TVS，II, §4, No. 4，命题5）。现在，令 $(x_n)$ 为 $F_\alpha$ 的元素的序列，具有极限 $a$ ，并且序列 $\left(u(h_\alpha(x_n))\right)$ 具有极限 $b \in B$ 。由于 $h_\alpha$ 是连续的， $h_\alpha(a)$ 是E中序列 $(h_\alpha(x_n))$ 的极限；因此，通过假设 $b = u(h_\alpha(a))$ ，并且由于 $F_\alpha$ 有性质 (GDF)， $u \circ h_\alpha$ 是连续的。

推论 09CV

— 具有性质 (GDF) 的局部凸空间的每个商空间都具有性质 (GDF)。

命题 3 09CW

— 自反 Fréchet 空间的强对偶有性质 (GDF)。

引用了 2

引用了命题 4, IV § 3, 命题 2

这是提案 2 的推论和以下引理（或 TVS、IV, §3, No. 4、提案 4）：

引理 09CX

设 F 为 Fréchet 空间， $F'$ 为强对偶， $F''$ 为对偶。如果 $F''$ 的每个子集，以 $\sigma(F'', F')$ 为界，都包含在F的有界子集的闭包（对于 $\sigma(F'', F')$ ）中，则 $F'$ 是Banach 空间的序列的直极限。

引用了 3

引用了推论 2, III § 3, 命题 7, III § 3, 命题 1, IV § 1

例如，令 $(V_n)$ 为 F 中 0 的凸、平衡、闭邻域的递减基本序列。对于每个整数 $n$ ，令 $G_n$ 为 $F'$ 的线性子空间，由 $V_n$ 的极 $V_n^\circ$ 生成。在 $G_n$ 中， $V_n^\circ$ 是吸收凸集合，因此其标距 $p_n$ 在 $G_n$ 上为范数；此外， $V_n^\circ$ 是强对偶 $F'$ 的完整子集（TVS，III, §3, No. 8，第11条命题）；因此 $G_n$ ，配备范数 $p_n$ ，是Banach空间（GT，III, §3, No. 5，第9号提案的Cor.2）。我们将证明 $F'$ 上的强拓扑是 $G_n$ 上这些Banach空间拓扑的直极限，或者再次证明，对于 $F'$ 的强闭、平衡、凸子集U作为0的强邻域，它吸收每个 $V_n^\circ$ 。显然这个条件是必须的；要想证明它是充分的，只要证明 U 包含一桶 $F'$ 就足够了。事实上，它在 $F''$ 中的极点 $U^\circ$ 将被限制为 $\sigma(F'', F')$ ，因此，通过假设，将包含在 F 的有界子集 B 的闭包（对于 $\sigma(F'', F')$ ）中，从中可以结论 U（对于 $\sigma(F', F'')$ 是封闭的）包含于 0 的强邻域 $B^\circ$ （TVS、II, §6, No. 3、Th.1 和§8, No. 4）。

到假设，对于每个整数 $n$ ，都存在数 $\lambda_n > 0$ ，使得 $\lambda_n V_n^\circ \subset \frac{1}{2}U$ ；令 $A_n$ 为 $i \leq n$ 的 $\lambda_i V_i^\circ$ 的并的凸包络。然后每 $n$ 对应 $A_n \subset \frac{1}{2}U$ ；令 W 为 $A_n$ 的并； W是一个凸出的、平衡的、吸收性的集合，包含在 $\frac{1}{2}U$ 中，并且足以表明它的强封闭性（它是一个桶）包含在U中。

因而，令 $x'$ 是 $F'$ 的点，而不是属于到U。由于每个 $V_n^\circ$ 对于 $\sigma(F', F)$ 来说都是紧致的， $A_n$ 也是如此（TVS，II, §2, No. 6，命题15），并且从 $x' \notin 2A_n$ 开始，存在元素 $x_n$ 属于到 F 中 $A_n$ 的极点，使得 $\langle x', x_n \rangle = 2$ （TVS，II, §5, No. 3，命题 4）。序列 $(x_n)$ 在F中有界：对于每个 $y' \in F'$ 属于到一些 $V_k^\circ$ ，因而 $|\langle y', x_n \rangle| \leq \lambda_k^{-1}$ 对于 $n \geq k$ ，从而我们的断言（TVS，IV, §1, No. 1，提案1）。令 C 为 F 包含所有 $x_n$ 中的有界平衡凸集合；那么 $C^\circ$ 是 $F'$ 中0的邻域， $F''$ 中 $C^\circ$ 的极 $C^{\circ\circ}$ 对于 $\sigma(F'', F')$ 来说是紧致的（TVS，III, §3, No. 4，第4条命题的Cor.2和第7条命题No. 5）。因而，可以看到序列 $(x_n)$ 在 $F''$ 中对于 $\sigma(F'', F')$ 有一个集群点 $x''$ ；显然， $\langle x', x'' \rangle = 2$ ，另一方面，对于每个 $n$ ， $x''$ 属于到 $F''$ 中 $A_n$ 的极点，因此到 $F''$ 中W的 $W^\circ$ 极点。由此， $x' \notin W^{\circ\circ}$ 的一个结论，因此不在 $\sigma(F', F'')$ 的W闭包中（TVS，II, §6, No. 3，Th.1和§8, No. 4），因而*更不必说*对于强拓扑，完成证明。

习题