习题 24, § 2

令 $\mu$ 为 T 上的正测度，将 $L^1(\mu)$ 的 u 线性映射转换为 Banach 空间 F，将 $L^1(\mu)$ 的单位球转换为对于 $\sigma(F, F')$ 相对紧凑的 F 的子集。证明存在一个 $\mu$ 可测量的 T 到 F 的映射 f，使得对于所有 $t \in T$ $|f(t)| \leq \|u\|$ 且使得

对于每个函数$g \in \overline{\mathscr{L}}^1(\mu)$（*邓福德-佩蒂斯-菲利普斯定理*）。 （首先约化对于 T 是紧的情况，借助第 14 章的 Prop. 14 IV, §5, No. 9。 单位 $L^\infty(\mu) \subset L^1(\mu)$ 的球 B 对于 $\sigma(L^1, L^\infty)$ 来说是相对紧凑的（第 1 章） V, §5，埃克瑟。 15);使用Exer。 23、证明由$u(L^1)$生成的F的闭线性子空间是可分的。 因此，我们可以将约化应用于 F 与 $u(L^1) = F$ 可分离的情况。 像 F 中的闭包 A 在单位 $L^1$ 球的 u 下对于 $\sigma(F, F')$ 是紧致的（第 1 章） IV, §7，埃克瑟。 10);表明它对于这个拓扑是可度量的（TVS，III, §3, No. 4，第 6 条命题的 Cor. 2）。 观察到 A 可以被识别为通过为 $F'$ 配备等于 $A^\circ$ 规格的范数获得的范数空间 G 的对偶单位球。 证明 G 是可分离的，因此约化到应用 Dunford–Pettis 定理（Th. 1 的 Cor. 2）。）