习题 12, § 2

a) 令K为开集合的特征函数的线性组合构成$\mathbf{R}^K$的紧空间、$E = E(K)$子空间；可以用$\mathscr{C}(K)$的双数的子空间来识别E。证明 $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$ 的柯西序列对于 $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$ 是收敛的（利用第 V, §5 章的 Prop. 12 和 Exer. 15）。由此推论，$\mathscr{M}(K)$的每个子集A对于拓扑$\sigma(\mathscr{M}(K), E)$相对紧，对于拓扑$\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$相对紧。 （约化对于 K 可度量的情况，使用 Exer.10 b）。证明 A 有界，受应用 Exer 限制。第 13 章。 V, §5。 注，在A上，模糊拓扑$\sigma(\mathscr{M}(K), \mathscr{C}(K))$和拓扑$\sigma(\mathscr{M}(K), \overline{E})$是相同的，$\overline{E} \supset \mathscr{C}(K)$是$\mathscr{M}(K)$强对偶中E的闭包；由此推断，利用$\mathscr{C}(K)$可分的事实，A的点的每个序列都有一个对于$\sigma(\mathscr{M}(K), E)$来说是柯西的子序列； 结论通过调用 Eberlein 的定理。）

b) 令 T 为局部紧致空间，m 为 T 上的向量测度，在准完备、Hausdorff 局部凸空间 F 中具有值。假设，对于 T 的每个紧致子集 K，$\int_K dm \in F$；表明，对于具有紧支撑的 T 上的每个有界 Borel f 函数，都有 $\int f dm \in F$，并且在 Borel 函数的集合的 $f \mapsto \int f dm$ 下有像，支撑包含在 T 和范数的紧子集 K 中$\|f\| \leq 1$，对于$\sigma(F, F')$（利用a）和Exer来说相对紧凑。 11，应用于$u : f \mapsto \int f dm$，其中f运行于T的紧致子集的特征函数线性组合集合）。

c) 设 F 为准完备、豪斯多夫局部凸空间，m 为 T 上的向量测度，F 中为值，标量为基 $\mu$；对于每个$z' \in F'$，写下$z' \circ m = g_{z'} \cdot \mu$。为了满足b)的条件，对于T的每个紧致子集K，F'的每个等连续子集H'，以及每个$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得关系$A \subset K$和$\mu^*(A) \leq \delta$意味着每 $z' \in H'$ $\int_A^* |g_{z'}| d\mu \leq \varepsilon$（使用上面的 Exer.11 和第 V, §5 章的 Exer.15）； m 则被认为相对于 $\mu$ 绝对连续（对于 F 的原始拓扑）。每个具有半自反空间中的值和基 $\mu$ 标量的矢量测度，相对于 $\mu$ 绝对连续（第 3 条的 Cor. 2）。 Banach 空间 $F$ 中具有值的每个可主化向量测度 m 相对于 $|\mathbf{m}|$ 绝对连续（对于 $F$ 的原始拓扑）。