习题 5, § 4

令 G 为无穷大可数的局部紧致群，$\beta$ G 上的左 Haar 测度，$a \in \mathbf{R}_+^*$ 和 $(\nu_u)_{0 \leq u \leq a}$ G 满足以下条件上的一系列正测度： (i) $\nu_0 = \varepsilon_e$； $\nu_{u+v} = \nu_u * \nu_v$如果$u + v \leq a$； $\nu_u = \nu_u^\vee$； (ii) 对于 $0 < u \leq a$、$\nu_u = f_u \cdot \beta$ 和 $f_u \geq 0$ 下半连续； (iii) $\nu_u$ 是 $u$ 的模糊连续的函数。 a) 设 $f \in \mathscr{K}_+(G)$。证明，对于 $0 < u \leq a$，

b) 设 $f \in \mathscr{K}(G)$。证明 $f_{u/2} * f$ 对于 $0 < u \leq a$ 具有 $\beta$ 可积平方，并且 (1) 再次成立。

c) 令$f \in \mathscr{K}(G)$ 使得$\nu_a * f = 0$。显示$f = 0$。 （b）每整数 $n > 0$ 就有 $\nu_{a/2^n} * f = 0$，因此 $f = 0$ §3, No. 3，注 1)。）

d) 令 $\nu \in \mathscr{C}'(G)$ 使得$\nu_a * \nu = 0$。显示$\nu = 0$。 （在 $\mathscr{K}(G)$ 中将 $\nu$ 正规化为函数并应用 c)。）