Bài tập 5, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương đếm được tại vô cực, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên G, $a \in \mathbf{R}_+^*$, và $(\nu_u)_{0 \leq u \leq a}$ là một họ các độ đo dương trên G thỏa mãn các điều kiện sau: (i) $\nu_0 = \varepsilon_e$; $\nu_{u+v} = \nu_u * \nu_v$ nếu $u + v \leq a$; $\nu_u = \nu_u^\vee$; (ii) với $0 < u \leq a$, $\nu_u = f_u \cdot \beta$ với $f_u \geq 0$ nửa liên tục dưới; (iii) $\nu_u$ là một hàm liên tục yếu của $u$. a) Cho $f \in \mathscr{K}_+(G)$. Chứng minh rằng, với $0 < u \leq a$,

b) Cho $f \in \mathscr{K}(G)$. Chứng minh rằng $f_{u/2} * f$ có bình phương khả tích theo $\beta$ với $0 < u \leq a$, và rằng (1) vẫn đúng.

c) Cho $f \in \mathscr{K}(G)$ sao cho $\nu_a * f = 0$. Chứng minh rằng $f = 0$. (Theo b), ta có $\nu_{a/2^n} * f = 0$ với mọi số nguyên $n > 0$, do đó $f = 0$ theo §3, No. 3, Nhận xét 1).)

d) Cho $\nu \in \mathscr{C}'(G)$ sao cho $\nu_a * \nu = 0$. Chứng minh rằng $\nu = 0$. (Làm chính quy hóa $\nu$ bằng các hàm trong $\mathscr{K}(G)$ và áp dụng c).)