Exercice 5, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact dénombrable à l’infini, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur $G$, $a \in \mathbf{R}_+^*$, $(\nu_u)_{0 \leq u \leq a}$ une famille de mesures positives sur $G$ satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) $\nu_0 = \varepsilon_0$; $\nu_{u+v} = \nu_u * \nu_v$ si $u + v \leq a$; $\nu_u = \overline{\nu_u}$;

(ii) pour $0 < u \leq a$, $\nu_u = f_u * \beta$, avec $f_u \geq 0$ semi-continue inférieurement ;

(iii) $\nu_u$ est fonction vaguement continue de $u$.

a) Soit $f \in \mathscr{K}_+(G)$. Montrer que, pour $0 < u \leq a$,

b) Soit $f \in \mathscr{K}(G)$. Montrer que $f_{u/2} * f$ est de carré $\beta$-intégrable pour $0 < u \leq a$, et qu’on a encore (1).

c) Soit $f \in \mathscr{K}(G)$ telle que $\nu_a * f = 0$. Montrer que $f = 0$. (On a $\nu_{a/2^n} * f = 0$ pour tout entier $n > 0$ d’après b), donc $f = 0$ d’après le § 3, no 3, Remarque 1)).

d) Soit $\nu \in \mathscr{C}'(G)$ telle que $\nu_a * \nu = 0$. Montrer que $\nu = 0$. (Régulariser $\nu$ par des fonctions de $\mathscr{K}(G)$ et appliquer c.).