习题 13, § 4

令 $G$ 为局部紧致群，在波兰局部紧致空间 $T$ 的左侧连续运行。令$\beta$为$G$上的左哈尔测度，$\nu$为$T$上的准不变正测度，$\chi(s, x)$函数$> 0$为Exer的$G \times T$满足条件。第 13 章。 VII, §1。 $f \in L^p(T, \nu)$ ($1 \leq p < +\infty$), 集合

a) 证明对于每个$s \in G$，$\gamma_{\chi, p}(s)$ 是$L^p(T, \nu)$ 的等距自同态。证明映射$s \mapsto \gamma_{\chi, p}(s)$是$L^p(T, \nu)$中$G$的线性表示（如§2, No. 5中的论证）。 b) 设$f \in \mathscr{L}^p(T, \nu)$，并设$h \in \mathscr{K}(G)$。显示函数 对于 $\beta \otimes \nu$，第 $p$-第幂可积（从情况 $p = 1$ 开始，并使用 §4, No. 1 中的引理 1）。证明如果$q$是共轭到$p$的指数，并且如果$g \in \mathscr{L}^q(T, \nu)$，则$f(s^{-1}x)h(s)g(x)\chi(s^{-1}, x)^{1/p}$对于$\beta \otimes \nu$可积（将$h$写在形式$h_1h_2$中，将$h_1, h_2$写在$\mathscr{K}(G)$）。然后从 Lebesgue-Fubini 定理推导出，对于 $f \in L^p(T, \nu)$ 和 $g \in L^q(T, \nu)$，函数 是$\beta$-可测量的。

c) 显示，使用 Cor。第 1 章§4, No. 6 和引理 1 的第 18 号提案 2 VI, §3, No. 1，$L^p(T, \nu)$中G的表示$s \mapsto \gamma_{\chi,p}(s)$对于$1 \leq p < +\infty$是连续的。

d) 假设在加法中，对于每个$s \in G$，函数$x \mapsto \chi(s^{-1}, x)$是有界的。 对于 $f \in L^p(T, \nu)$、集合

证明$s \mapsto \gamma_{\chi}(s)$是G在$L^p(T, \nu)$中对于$1 \leq p < +\infty$的连续表示。 （如§2, No. 5第9号提案证明所示，$s \mapsto \gamma_{\chi}(s)$是G的表示除以$L^p(T, \nu)$的自同态。 然后观察到，如果$f \in L^p(T, \nu)$和$h \in \mathscr{K}(G)$，§4, No. 1的引理 1表明$h(s)f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)$对于$\beta \otimes \nu$是可积的$p$-第幂。 证明的结论如 c.）