Exercice 13, § 4

Soit G un groupe localement compact opérant continûment à gauche dans un espace localement compact polonais T. Soient β une mesure de Haar à gauche sur G, ν une mesure quasi-invariante positive sur T et $\chi(s, x)$ une fonction > 0 sur $G \times T$ satisfaisant aux conditions de l’exerc. 13 du chap. VII, § 1. Pour $f \in L^p(T, \nu)$ ($1 \leq p < +\infty$), on pose

a) Montrer que, pour tout $s \in G$, $\gamma_{\chi, \nu}(s)$ est un endomorphisme isométrique de $L^p(T, \nu)$. Montrer que l’application $s \to \gamma_{\chi, \nu}(s)$ est une

b) Soit $f \in \mathscr{L}^p(T, \nu)$, et soit $h \in \mathscr{K}(G)$. Montrer que la fonction

est de puissance $p$ème intégrable pour $\beta \otimes \nu$ (commencer par le cas $p = 1$, et utiliser le lemme 1 du § 4, n° 1). Montrer que si $q$ est l’exposant conjugué de $p$, et si $g \in \mathscr{L}^q(T, \nu)$, alors $f(s^{-1}x)h(s)g(x)\chi(s^{-1}, x)^{1/p}$ est intégrable pour $\beta \otimes \nu$ (écrire $h$ sous la forme $h_1h_2$ avec $h_1, h_2$ dans $\mathscr{K}(G)$). Déduire alors du théorème de Lebesgue-Fubini que, pour $f \in L^p(T, \nu)$ et $g \in L^q(T, \nu)$, la fonction est $\beta$-mesurable.

c) Montrer, en utilisant le cor. 2 de la prop. 18 du § 4 et le lemme 1 du chap. VI, § 3, n° 1, que la représentation $s \to \gamma_{\chi, \nu}(s)$ de G dans $L^p(T, \nu)$ est continue pour $1 \leq p < +\infty$.

d) On suppose de plus que, pour tout $s \in G$, la fonction $x \to \chi(s^{-1}, x)$ est bornée. On pose, pour $f \in L^p(T, \nu)$ :

Montrer que $s \to \gamma_{\chi}(s)$ est une représentation continue de G dans $L^p(T, \nu)$ pour $1 \leq p < +\infty$. (On montrera, comme dans la démonstration de la prop. 9 du § 2, n° 5, que $s \to \gamma_{\chi}(s)$ est une représentation de G par des endomorphismes de $L^p(T, \nu)$. Puis on remarquera que si $f \in L^p(T, \nu)$ et $h \in \mathscr{K}(G)$, le lemme 1 du § 4, n° 1 montre que $h(s)f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)$ est de puissance $p$ème intégrable pour $\beta \otimes \nu$. On terminera la démonstration comme dans c).