Bài tập 13, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương tác động liên tục bên trái trên một không gian compact địa phương Polish $T$. Cho $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$, $\nu$ là một độ đo dương gần bất biến trên $T$, và $\chi(s, x)$ là một hàm $> 0$ trên $G \times T$ thỏa mãn các điều kiện của Bài tập 13 của Ch. VII, §1. Với $f \in L^p(T, \nu)$ ($1 \leq p < +\infty$), đặt

a) Chứng minh rằng với mọi $s \in G$, $\gamma_{\chi, p}(s)$ là một tự đồng cấu đẳng cự của $L^p(T, \nu)$. Chứng minh rằng ánh xạ $s \mapsto \gamma_{\chi, p}(s)$ là một biểu diễn tuyến tính của $G$ trong $L^p(T, \nu)$ (lập luận như trong §2, No. 5). b) Cho $f \in \mathscr{L}^p(T, \nu)$, và cho $h \in \mathscr{K}(G)$. Chứng minh rằng hàm là khả tích theo lũy thừa $p$ đối với $\beta \otimes \nu$ (bắt đầu với trường hợp $p = 1$, và sử dụng Bổ đề 1 của §4, No. 1). Chứng minh rằng nếu $q$ là số mũ liên hợp với $p$, và nếu $g \in \mathscr{L}^q(T, \nu)$, thì $f(s^{-1}x)h(s)g(x)\chi(s^{-1}, x)^{1/p}$ là khả tích đối với $\beta \otimes \nu$ (viết $h$ dưới dạng $h_1h_2$ với $h_1, h_2$ thuộc $\mathscr{K}(G)$). Sau đó suy ra từ định lý Lebesgue–Fubini rằng, với $f \in L^p(T, \nu)$ và $g \in L^q(T, \nu)$, hàm là $\beta$-đo được.

c) Chứng minh, sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 18 của §4, No. 6 và Bổ đề 1 của Ch. VI, §3, No. 1, rằng biểu diễn $s \mapsto \gamma_{\chi,p}(s)$ của G trong $L^p(T, \nu)$ là liên tục với $1 \leq p < +\infty$.

d) Giả sử thêm rằng, với mọi $s \in G$, hàm $x \mapsto \chi(s^{-1}, x)$ bị chặn. Với $f \in L^p(T, \nu)$, đặt

Chứng minh rằng $s \mapsto \gamma_{\chi}(s)$ là một biểu diễn liên tục của G trong $L^p(T, \nu)$ với $1 \leq p < +\infty$. (Ta chứng minh, như trong chứng minh của Mệnh đề 9 của §2, No. 5, rằng $s \mapsto \gamma_{\chi}(s)$ là một biểu diễn của G bởi các tự đồng cấu của $L^p(T, \nu)$. Sau đó nhận xét rằng nếu $f \in L^p(T, \nu)$ và $h \in \mathscr{K}(G)$, Bổ đề 1 của §4, No. 1 cho thấy rằng $h(s)f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)$ là khả tích theo lũy thừa $p$ đối với $\beta \otimes \nu$. Chứng minh được kết thúc như trong c.)