习题 3, § 2

令$G$为局部紧致群，$U$为$G$在局部凸空间$E$中的连续线性表示，以及$E'$配备强拓扑的$E$的对偶。 a) 证明对于 $G$ 的每个紧致子集 $K$，$^tU(K)$ 是等连续的。 b) 令$F$为$a' \in E'$的集合，使得$G$的映射$s \mapsto ^tU(s)a'$到$E'$是连续的。证明 $F$ 是 $E'$ 的闭线性子空间对于 $^tU(G)$ 稳定，并且通过限制到 $F$ 推导出表示，$U$ 的同余表示是连续的。 c) 假设$E$是准完备的。令$\alpha$为$G$的左哈尔测度。证明$f \mapsto U(f \cdot \alpha)$是$\mathscr{K}(G)$到$\mathscr{L}(E; E)$的连续映射，且拓扑具有有界收敛性。 （使用第 VI, §1, No. 7 章的第 17 条命题。）证明 $F$ 在 $E'$ 中是弱稠密的。 （证明$^tU(f)a' \in F$对于所有$a' \in E'$和$f \in \mathscr{K}(G)$，然后使用引理 4的Cor.3。）由此推断，如果$E$是半自反的，则$E'$中$U$的同余表示配备强拓扑是连续的。 d) 证明如果$U$被取为$L^1(G, \alpha)$中$G$的左正则表示（$\alpha$仍然是$G$上的左哈尔测度），则$F$是由均匀连续形成的$E' = L^\infty(G, \alpha)$的子空间函数。