Exercice 3, § 2

Soient G un groupe localement compact, U une représentation linéaire continue de G dans un espace localement convexe E, $E'$ le dual de E muni de la topologie forte.

a) Montrer que, pour toute partie compacte K de G, $t'U(K)$ est équicontinu.

b) Soit F l’ensemble des $a' \in E'$ tels que l’application $s \to t'U(s)a'$ de G dans $E'$ soit continue. Montrer que F est un sous-espace vectoriel fermé de $E'$ stable pour $t'U(G)$ et que la représentation déduite par restriction à F de la représentation contragrédiente de U est continue.

c) On suppose E quasi-complet. Soit $\alpha$ une mesure de Haar à gauche sur G. Montrer que $f \to U(f.\alpha)$ est une application continue de $\mathscr{K}(G)$ dans $\mathscr{L}(E; E)$ muni de la topologie de la convergence bornée. (Utiliser la prop. 17 du chap. VI, § 1, n° 7). Montrer que F est faiblement dense dans $E'$. (Prouver que $t'U(f)a' \in F$ pour tout $a' \in E'$ et toute $f \in \mathscr{K}(G)$, puis utiliser le cor. 3 du lemme 4). En déduire que, si E est semi-réflexif, la représentation contragrédiente de U dans $E'$ muni de la topologie forte est continue.

d) Montrer que si on prend pour U la représentation régulière gauche de G dans $L^1(G, \alpha)$ ($\alpha$ étant toujours une mesure de Haar à gauche de G), F est le sous-espace de $E' = L^\infty(G, \alpha)$ formé des fonctions uniformément continues.