Bài tập 3, § 2

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $U$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong một không gian lồi địa phương $E$, và $E'$ là đối ngẫu của $E$ được trang bị tôpô mạnh. a) Chứng minh rằng với mọi tập con compact $K$ của $G$, $^tU(K)$ là đồng liên tục. b) Gọi $F$ là tập hợp các $a' \in E'$ sao cho ánh xạ $s \mapsto ^tU(s)a'$ từ $G$ vào $E'$ là liên tục. Chứng minh rằng $F$ là một không gian con tuyến tính đóng của $E'$ ổn định đối với $^tU(G)$ và rằng biểu diễn suy ra bằng cách hạn chế vào $F$ biểu diễn đối ngẫu của $U$ là liên tục. c) Giả sử rằng $E$ là gần đầy đủ. Gọi $\alpha$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Chứng minh rằng $f \mapsto U(f \cdot \alpha)$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathscr{K}(G)$ vào $\mathscr{L}(E; E)$ được trang bị tôpô của hội tụ bị chặn. (Dùng Mệnh đề 17 của Ch. VI, §1, No. 7.) Chứng minh rằng $F$ là trù mật yếu trong $E'$. (Chứng minh rằng $^tU(f)a' \in F$ với mọi $a' \in E'$ và $f \in \mathscr{K}(G)$, sau đó dùng Hệ quả 3 của Bổ đề 4.) Suy ra từ đó rằng nếu $E$ là nửa phản xạ, thì biểu diễn đối ngẫu của $U$ trong $E'$ được trang bị tôpô mạnh là liên tục. d) Chứng minh rằng nếu $U$ được lấy là biểu diễn chính quy trái của $G$ trong $L^1(G, \alpha)$ ($\alpha$ vẫn là một độ đo Haar trái trên $G$), thì $F$ là không gian con của $E' = L^\infty(G, \alpha)$ được tạo thành bởi các hàm liên tục đều.