习题 10, § 2

对于§1, No. 6的记号，命题6令对于每个$\alpha \in A$，$\mu_\alpha$是$G_\alpha$上的左哈尔测度，因此$\mu_\alpha$的逆极限是G上的左哈尔测度$\mu$。对于每个$\alpha \in A$，表示为$\lambda_\alpha$ $K_\alpha$ 的归一化 Haar 度量。

a) 令$p$为有限数$\geqslant 1$，并令$f$为$\mathscr{L}_F^p(G, \mu)$中的函数（F a Banach空间或$F = \overline{\mathbf{R}}$）。每$\alpha \in A$、函数

几乎所有地方都定义了 $\mu$、属于到 $\mathscr{L}_F^p(G, \mu)$（例 9）。证明，对于有向集合 A，$f_\alpha$ 趋向于阶 $p$ 到 $f$ 的平均值（利用 §1, No. 6 的引理 2）。

b) 假设$A = \mathbf{N}$和$p = 1$。表明 $f_n$ 则在 G 中几乎所有地方（对于 $\mu$）趋向于 $f$（使用类似于 Ch. V, §8，Exer. 16 的方法）。