Exercice 10, § 2

Avec les notations du § 1, n° 6, soit, pour tout $\alpha \in A$, $\mu_\alpha$ une mesure de Haar à gauche sur $G_\alpha$, de sorte que la limite projective des $\mu_\alpha$ soit une mesure de Haar $\mu$ sur G. Pour tout $\alpha \in A$, on désigne par $\lambda_\alpha$ la mesure de Haar normalisée sur $K_\alpha$.

a) Soit $p$ un nombre fini et $\geqslant 1$, et soit $f$ une fonction de $\mathscr{L}_F^p(G, \mu)$ (F espace de Banach ou $F = \overline{\mathbf{R}}$). Pour tout $\alpha \in A$, la fonction

définie presque partout pour $\mu$, appartient à $\mathscr{L}_F^p(G, \mu)$ (exerc. 9). Montrer que, suivant l’ensemble filtrant A, $f_\alpha$ tend en moyenne d’ordre $p$ vers $f$ (utiliser le lemme 2 du § 1, n° 6).

b) On suppose que $A = \mathbf{N}$ et que $p = 1$. Montrer alors que $f_n$ tend presque partout (pour $\mu$) vers $f$ dans G (utiliser une méthode analogue à celle du chap. V, § 8, exerc. 16).