Bài tập 10, § 2

Với các ký hiệu của §1, No. 6, Mệnh đề 6, với mỗi $\alpha \in A$, gọi $\mu_\alpha$ là một độ đo Haar trái trên $G_\alpha$, sao cho giới hạn ngược của các $\mu_\alpha$ là một độ đo Haar trái $\mu$ trên G. Với mỗi $\alpha \in A$, ký hiệu $\lambda_\alpha$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên $K_\alpha$.

a) Cho $p$ là một số hữu hạn $\geqslant 1$ và cho $f$ là một hàm thuộc $\mathscr{L}_F^p(G, \mu)$ (F là một không gian Banach hoặc $F = \overline{\mathbf{R}}$). Với mỗi $\alpha \in A$, hàm

được xác định hầu khắp nơi đối với $\mu$, thuộc $\mathscr{L}_F^p(G, \mu)$ (Bài tập 9). Chứng minh rằng, đối với tập có hướng A, $f_\alpha$ hội tụ theo trung bình cấp $p$ đến $f$ (sử dụng Bổ đề 2 của §1, No. 6).

b) Giả sử rằng $A = \mathbf{N}$ và $p = 1$. Chứng minh rằng khi đó $f_n$ hội tụ đến $f$ hầu khắp nơi (đối với $\mu$) trong G (sử dụng một phương pháp tương tự phương pháp của Chương V, §8, Bài tập 16).