习题 12, § 1

令$K$为非离散局部紧域，$E$为$K$上的左拓扑向量空间。 a) 如果$E$是一维，则$E$与$K_s$同构的（模仿TVS第2命题的证明，I, §2, No. 2、替换通过函数$\mathrm{mod}_K$绝对值）。 b) 如果$E$是$n$维，则$E$同构于$K_s^n$（模仿TVS的Th.2的证明，I, §2, No. 3）。 c) 假设 $E$ 是局部紧致的。令 $F$ 为$E$ 有限维 $n$ 的线性子空间。对于每个$a \in K$，令$\mathrm{mode}_E(a)$为$x \mapsto ax$在$E$中的模。由于 $F$ 在 $E$ 中由 b) 闭合，因此可以形式 $\mathrm{mod}_{E/F}(a)$。显示$\mathrm{mod}_E(a) = \mathrm{mod}_K(a)^n \mathrm{mod}_{E/F}(a)$。证明如果 $\mathrm{mod}_K(a) < 1$ 和 $F \neq E$，则 $\mathrm{mod}_{E/F}(a^n) < 1$。 （$a^n \to 0$ 为 $n \to +\infty$；由此，通过如No. 10 的第 12 条论证那样论证，推导出 $\mathrm{mod}_{E/F}(a^n) \to 0$。）由此推导出 $n \leq \log \mathrm{mode}(1/a)/\log \mathrm{mod}_K(1/a)$，因此 $E$ 是有限维的。 （我们将在CA中看到，VI，局部紧凑域的拓扑可以由绝对值定义。c）的最终结果将是Th的特殊情况。 3 个 TVS，I, §2, No. 4。）