Bài tập 12, § 1

Cho $K$ là một trường compact địa phương không rời rạc, $E$ là một không gian vectơ tôpô trái trên $K$. a) Nếu $E$ có số chiều 1, thì $E$ đẳng cấu với $K_s$ (bắt chước chứng minh của Mệnh đề 2 của TVS, I, §2, No. 2, thay thế giá trị tuyệt đối bằng hàm $\mathrm{mod}_K$). b) Nếu $E$ có số chiều $n$, thì $E$ đẳng cấu với $K_s^n$ (bắt chước chứng minh của Định lý 2 của TVS, I, §2, No. 3). c) Giả sử rằng $E$ là compact địa phương. Cho $F$ là một không gian con tuyến tính của $E$ có số chiều hữu hạn $n$. Với mọi $a \in K$, gọi $\mathrm{mode}_E(a)$ là môđun của $x \mapsto ax$ trong $E$. Vì $F$ đóng trong $E$ theo b), ta có thể lập $\mathrm{mod}_{E/F}(a)$. Chứng minh rằng $\mathrm{mod}_E(a) = \mathrm{mod}_K(a)^n \mathrm{mod}_{E/F}(a)$. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{mod}_K(a) < 1$ và $F \neq E$, thì $\mathrm{mod}_{E/F}(a^n) < 1$. (Ta có $a^n \to 0$ khi $n \to +\infty$; từ đó, suy ra rằng $\mathrm{mod}_{E/F}(a^n) \to 0$ bằng cách lập luận như trong Mệnh đề 12 của No. 10.) Suy ra từ điều này rằng $n \leq \log \mathrm{mode}(1/a)/\log \mathrm{mod}_K(1/a)$, do đó $E$ có số chiều hữu hạn. (Ta sẽ thấy trong CA, VI, rằng tôpô của một trường compact địa phương có thể được xác định bởi một giá trị tuyệt đối. Kết quả cuối cùng của c) khi đó sẽ là một trường hợp đặc biệt của Định lý 3 của TVS, I, §2, No. 4.)