Exercice 12, § 1

Soient K un corps localement compact non discret, E un espace vectoriel topologique à gauche sur K.

a) Si E de dimension 1, E est isomorphe à $K_s$ (imiter la démonstration de la prop. 2 de Esp. vect. top., chap. I, § 2, n° 2, en remplaçant la valeur absolue par la fonction $\mathrm{mod}_{\mathbf{K}}$).

b) Si E est de dimension n, E est isomorphe à $K_s^n$ (imiter la démonstration du th. 2 de Esp. vect. top., chap. I, § 2, n° 3).

c) On suppose E localement compact. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E. Pour tout $a \in K$, soit $\mathrm{mod}_E(a)$ le module de $x \to ax$ dans E. Comme F est fermé dans E d’après b), on peut former $\mathrm{mod}_{E/F}(a)$. Montrer que $\mathrm{mod}_E(a) = \mathrm{mod}_K(a)^n \mathrm{mod}_{E/F}(a)$. Montrer que, si $\mathrm{mod}_K(a) < 1$ et si $F \neq E$, on a $\mathrm{mod}_{E/F}(a^n) < 1$. (On a $a^n \to 0$ quand $n \to +\infty$; en déduire que $\mathrm{mod}_{E/F}(a^n) \to 0$ en raisonnant comme pour la prop. 12 du n° 10). En déduire que $n \leq \log \mathrm{mod}_E(1/a)/\log \mathrm{mod}_K(1/a)$, donc que E est de dimension finie.

(On verra en Alg. comm., chap. VI, que la topologie d’un corps localement compact peut être définie par une valeur absolue. Le résultat final de c) sera alors un cas particulier du th. 3 de Esp. vect. top., chap. I, § 2, n° 4).