习题 7, § 3

令$G$为幺模群$\mathrm{SL}(n, \mathbf{R})$，$G$的$\Gamma$子群由行列式1的矩阵与整数项组成。通过$n$上的归纳，证明齐次空间$G/\Gamma$上的每个不变测度$\mu$都是有界的，并且对于$f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$，在适当选择$\mu$的情况下，

$(\dot{X} = X \Gamma)$。 （令$G'$为$G$的子群，保持不变基向量$(1, 0, 0, \ldots, 0)$，以便$G/G'$可与$\mathbf{R}^n$识别。令$G'' = G' \cap \Gamma$。令$H$为子群 of 矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & w \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ of $G'$，其中$Y \in \mathrm{SL}(n-1, \mathbf{R})$有整数个条目，那么$H/G''$是紧致的，并且通过归纳假设，$G'/H$有一个有限不变测度，因此根据命题12， §2, No. 8、$G'/G''$ 具有应用 Exer. 6 of §2 和 Exer. 20 b) A、 VII, §4，表明对于 $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n)$，

其中总和超过向量 $m = (m_1, \ldots, m_n)$ 的集合，其坐标为设定互质整数 (A, VII, §1, No. 2, Th. 1)。 应用到函数 $f(2x)$, $f(3x)$, ... 求和，证明 (1)。然后，将替换$f$乘以函数$x \mapsto \varepsilon^n f(\varepsilon x)$和$f \geq 0$，并让$\varepsilon$趋于0，表明$G/\Gamma$的每个紧致子集都有测度$\leq 1$。